Umkehrfunktion mit Bruch in einem Definitionsbereich

Question

Aufgabe:

Gegeben  ist die Funktion mit

\( \frac{3-4 x}{x^{2}+1} \)

 und soll nun die Umkehrfunktion angeben, die ganz in der Menge der negativen Rationalen Zahlen liegt.

Problem/Ansatz:

Stimmt es, dass ich nun erstmal die Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen muss, also f'(x) = 0 und schauen, welche im negativen Bereich liegen? Und dann diesen angeben mit der Umkehrfunktion?

Als Umkehrfunktion hätte ich

\( Y=\frac{-4 \pm \sqrt{64-16 x}}{8} \)

aber irgendwie kommt mir das komisch vor,

Comments

Y passt nicht.

https://www.desmos.com/calculator/khbnftnpkw

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Ich verstehe noch nicht so ganz, wie ganz ich die Umkehrfunktion dann bilden kann, vielleicht könnte das noch jemand erklären.

Answer 1

Hallo Lina,

Gegeben ist die Funktion $$f(x) = \frac{3-4 x}{x^{2}+1} = y$$ Du sollst die Umkehrfunktion \(x = f^{-1}(y)\) bestimmen. Dazu löse die Funktion nach dem Argument \(x\) auf:$$\begin{aligned} 3-4x &= y(x^2 + 1)\\  \frac{3-4x}{y} &= x^2 + 1 \\ 0 &= x^2 + \frac 4y x + 1 - \frac 3y \\ x_{1,2} &= - \frac 2y \pm \sqrt{\frac{4}{y^2} - 1 + \frac 3y} \\ &= \frac 1y \left(-2 \pm \sqrt{-y^2 + 3y + 4}\right) \end{aligned}$$Am besten schaut man sich das erstmal im Plot an:

~plot~ (-2+sqrt(-x^2+3x+4))/x;(-2-sqrt(-x^2+3x+4))/x;(3-4 x)/(x^2+1);x ~plot~

Der grüne Graph ist der Graph von \(y=f(x)\). Die Umkehrfunktion \(x=f^{-1}(y)\) ist die Spiegelung von \(f(x)\) an der Winkelhalbierenden (lila).

soll nun die Umkehrfunktion angeben, die ganz in der Menge der negativen Rationalen Zahlen liegt.

Eine Funktion - bzw. ein Bereich einer Funktion - ist eindeutig umkehrbar, wenn die Funktion dort streng monoton fallend oder streng monoton steigend ist. Der Teil, bei dem das der Fall ist, und vollständig im negativen Bereich liegt, ist das Intervall \(x \in (-\infty; -0,5]\). Bei \(x=-0,5\) liegt das Maximum der Funktion (s. Plot). Das entspricht hier dem Teil der Umkehrfunktion für den gilt:$$x = \frac 1y \left(-2 \colorbox{#ffff00}- \sqrt{-y^2 + 3y + 4}\right) \quad \mathbb D = \{ y |\, 0 \lt y \le 4\} $$Falls da was unklar ist, so frage ruhig nochmal nach. Am Plot kann man das recht gut sehen.

Gruß Werner

Comments

Super, vielen Dank schon mal, das habe ich jetzt schon mal verstanden. In der Aufgabe steht: Begründe, dass es drei maximale Definitionsbereiche gibt, in denen die Funktion umkehrbar ist. Einer dieser Bereiche liegt ganz in der Menge der negativen reellen Zahlen. Bestimmen Sie für diesen Bereich den Term der Umkehrfunktion und tragen Sie diesen in eine Skizze ein.

Das müsste sich somit doch auf den Bereich von - unendlich bis ca. -0,4 oder so, dass muss man eben noch berechenen, sein?

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Hallo Werner,

du musst aber bei deiner Umformerei den Fall y=0 separat betrachten.

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Das müsste sich somit doch auf den Bereich von - unendlich bis ca. -0,4 oder so, dass muss man eben noch berechenen, sein?

Ja genau. Von minus unendlich bis zum Maximum. Das sollte bei 0,5 liegen, aber rechne das nochmal nach. Ich habe meine Antwort erweitert.

Und \(y=0\) liegt natürlich nicht im Definitionsbereich der Umkehrfunktion, wie abakus bereits angemerkt hat, genauso wenig wie \(y \gt 4\). Im letzteren Fall wäre sonst der Ausdruck unter der Wurzel negativ.

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Die Null liegt schon im Definitionsbereich (weil sie ja auch im Wertebereich der Ausgangsfunktion liegt), man muss nur an der Stelle eine separate Betrachtung vornehmen und darf dort nicht mit dem für die umliegenden Werte gültigen Funktionsterm arbeiten.

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Super, vielen danke!

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So wie ich das sehe ist die Umkehrfunktion immer um 90Grad gedreht

Nein, sie ist nicht gedreht, sie ist an der lilanen Winkelhalbierenden gespiegelt. Das macht schon einen Unterschied zu 'gedreht'. x und y sind schlicht vertauscht.

Das Zeichnen wurde ja glaub mit einem Programm gemacht, kann ich die Umkehrfunktion auch Zeichnen, wenn ich nur f(x) eingezeichnet habe ?

Ja - durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen. Immer nur die Werte für x und y tauschen.

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Nochmal eine doofe Frage, wie kommt man von hier

bei der 1. auf die zweite Zeile, normal müsste ich doch die Mitternachtsformel anwenden, aber dann hätte ich doch für a = 1, b = 4/y und c wäre 1-3/y aber mit dem einsetzen würde dass dann doch nicht passen, ich glaub ich stehe heute echt auf dem Schlauch

Text erkannt:

\( \begin{aligned} 0 &=x^{2}+\frac{4}{y} x+1-\frac{3}{y} \\ x_{1,2} &=-\frac{2}{y} \pm \sqrt{\frac{4}{y^{2}}-1+\frac{3}{y}} \\ &=\frac{1}{y}(-2 \pm \sqrt{-y^{2}+3 y+4}) \end{aligned} \)

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Ah, das hab ich jetzt, das müsste die pq Formel sein. Jetzt ist mir nur noch nicht klar, wie man von der zweiten auf die dritte Zeile kommt.

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Werner hat in der Wurzel den Faktor \(\frac{1}{y^2} \) ausgeklammert und in der Form \( \sqrt{\frac{1}{y^2}} \) als \(\frac{1}{y}\) vor die Wurzel geschrieben. Eigentlich hätten man das in einem Zwischenschritt erst mal als  \(|\frac{1}{y}|\) schreiben müssen, aber das \( \pm \) bereinigt das sowieso wieder.

Answer 2

y = ( 3 -4x ) / ( x^2 + 1)
Die Funktion hat keine Umkehrfunktion
sondern 2 Funktionen sind möglich

y = plus √ ( 3 / x - 1 + 4/x^2 ) - 2/ x
und
y = minus √ ( 3 / x - 1 + 4/x^2 ) - 2/ x
Bei beiden Funktionen liegt der Funktionswert
nicht komplett  im negativem Bereich.

plus von 3 bis 4
minus von 1/2 bis 4

Dazu ein Bild