Quadratische Gleichungen lösen: x²-y²=3 und 2xy=-4

Question

Wie kann ich rausfinden, für welche x und y folgende Gleichungspaare lösbar sind?
 

1. x²-y²=3  und  2xy=-4

2. x/(x²+y²)=3   und  -y/(x²+y²)=4

Answer 1

Zu 1) Die 2. Gleichung nach x beispielsweise umstellen: x = -2y und das in die 1. Gleichung einsetzen:

(-2y)² -y² = 3

4y² - y² = 3

3y² = 3

y² = 1

y_1/2 = ± 1

Dann ist mit x = -2y, x₁ = -2 und x₂ = -2.

zu 2) Beispielsweise die 1. Gleichung nach y umstellen:

(x² + y²) = x/3

y² = x/3 - x² bzw. y = Wurzel(x/3 -x²)

-Wurzel(x/3 -x2)/(x² +x/3 -x²) = 4

-3Wurzel(x/3 -x²)/x = 4

Wurzel(x/3 -x²) = -4x/3

(x/3 -x²) = 16x²/9

-25x2/9 + x/3 = 0

-25x2/3 + x = 0

x (1-25x/3) = 0

x₁ = 0, y₁ = 0 (Ergebnis erfüllt Gleichung nicht, Division durch Null)

1-25x/3 = 0

25x/3 = 1

x₂ = 3/25 = 0,12

y² = x/3 - x² = 0,12/3 - 0.12*0,12 = 0,0256 -> y_1/2 = ± 0,16 (nach Probe in der obigen Gleichung ist nur y = - 0,16 sinnvoll)

Lösung: x = 0,12 und y = -0,16

 

 

 

 

Comments

y_1/2 = ± 1

Dann ist mit x = -2y, x₁ = -2 und x₂ = -2.

 

kleiner schreibfehler 

x₂ = 2

somit sind die lösungen

y₁=1 x₁=-2

und

y₂=-1 x₂=2