Satz über Mittelsenkrechten

Question

Liebe Lounge,

(1) es geht mir darum, den folgenden Satz zu beweisen:

Jeder Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB hat zu den beiden Punkten A und B denselben Abstand. Gleichzeitig gilt, dass ein Punkt P, der denselben Abstand zu zwei
Punkten A und B hat, auf der Mittelsenkrechten
der Strecke AB liegt.

Also P ist Element der Mittelsenkrechten AB <-->  I PA I = I PB I

Die → Richtung ist mir klar. Wie geht allerdings die <-- Richtung?

Habe einen Ansatz gesehen, wo über ein Lot argumentiert wird. Da frage ich mich allerdings warum das geht, weil ein Lot ja im Prinzip auch mithilfe einer Mittelsenkrechte konstruiert wird...

(2) Hat jemand einen kurzen Beweis dafür, dass das Lot auf einer Geraden CD tatsächlich im rechten Winkel steht (Beweis ohne die Hilfe von Mittelsenkrechten)...

Vielen Dank!!!

Answer 1

Ich würde ABP als gleichschenkliges Dreieck betrachten und mit der Achsensymmetrie argumentieren.

Answer 2

Du musst das Lot ja nicht "konstruieren", sondern definieren.

Sei g eine Gerade, die durch P verläuft und AB senkrecht in einem Punkt S schneidet...

Die Dreiecke PAS und PSB stimmen dann überein in

- dem genannten rechten Winkel

- der Strecke PS

- PA=PB

Sie sind damit kongruent nach SsW, also gilt AS=SB, und S ist Mittelpunkt von AB.

Damit ist PS nicht nur Senkrechte von AB, sondern auch Mittelsenkrechte.

Ein anderer Ansatz wäre ein indirekter Beweis. Annahme: Trotz AP=BP liegt P z.B. "links von der Mittelsenkrechten", d.h. PB schneidet die Mittelsenkrechte in einem Punkt D. Offensichtlich gilt dann AD=BD und damit

AD+DP=BD+DP.

Nun ist die rechte Seite gerade die Länge PB, während die linke Seite die Summe von zwei Seiten des entstehenden Dreiecks ADP ist. Diese Summe ist nach Dreiecksungleichung größer als die dritte Seite AP.

Aus der Annahme folgt also PB=AD+DP>AP, kurz: PB > AP. Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung AP=BP, also kann P nicht neben der Mittelsenkrechten liegen.

Comments

Ok. Und der Beweis für das Lot?

Wenn ich da über Kongruenzsätze argumentieren möchte, hätte ich folgendes:

Sei g eine Gerade durch A und B und P ein Punkt, der nicht auf der Gerade liegt. Wenn wir jetzt das Lot fällen von P auf g entsteht ein Schnittpunkt S.

Zu zeigen ist, dass für die Winkel DSP und PSC Gleichheit gilt und dass sie 90° messen.

Die Dreiecke CSP und DPS haben folgende Gemeinsamkeiten:

Strecke PS ist gleich, da in beiden Dreiecken vorhanden.

Aber was noch?

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Ok. Und der Beweis für das Lot?

Du sprichst in Rätseln. Was willst du beweisen und wieso?

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Also: Ich weiß wie man ein Lot konstruiert. Meine Frage ist jetzt folgende: Wie kann man beweisen, dass diese Gerade, die ich konstruieren auch tatsächlich senkrecht zur Geraden g steht?

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Warum willst du sie KONSTRUIEREN?

Es GIBT eine Gerade, die durch den Punkt geht und senkrecht auf AB steht

Das genügt völlig..

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Okay. Aber kann man irgendwie beweisen, dass das die ist, welche ich durch die Konstruktion erhalte?

Oder brauche ich dafür die Mittelsenkrechte?