Volumen von Kegel (im Kegel) Abhängigkeit von (x)

Question

Hayo,

Ich hätte eine Frage, bezüglich einer Aufgabe im Buch, an der ich seit 2 Tagen sitze. Bin bei sowas sehr ehrgeizig. Teils erschließt sich mir die Vorgehensweise, aber leider nicht ganz. Wäre auf jeden Fall dankbar.

Ich habe gegeben:

Zwei Kegel (bzw. Dreiecke) in dem einen (großes Dreieck) ein kleines Dreieck kongruent und verkehrtherum einbeschrieben ist. Die Spitze des einbeschriebenen Dreiecks (kleines Dreiexk) liegt auf dem Mittelpunkt des Grundkreises (großes Dreieck/ Durchmesser)

K (großes Dreieck)

r = 2,5 cm

h = 6 cm

K1 (kleines Dreieck)

r = x

h = h(x)

Berechnet und nachvollzogen hab ich:

h(x) = (-2,4x + 6) (Streckensatz)

Dann sollte ich die Formeln der Kegel, mit einem rechtwinkligen und einem gleichseitigen einbeschriebenem Dreieck, nach X aufstellen. (K2 und K3) (Hab ich über die Winkel gemacht)

Probleme hab ich mit dem Volumen, was die einbeschriebenen Dreiecke darstellen soll:

V(x) = -0,8* pi* x^2* (x- 2,5) cm^3

Ich begreife den Hintergrund, aber die -0,8 bringt mich komplett auseinander und auch bei dem (x - 2,5) hab ich nur die Erklärung, dass die Höhe (-2,4x + 6) umgestellt wurde.

Frage eigentlich nie und versuche immer Aufgaben selbst zu lösen. Ich hoffe die Aufgabe lässt sich, so wie ich sie versucht habe zu beschreiben, nachvollziehen. Für jede Antwort bin ich sehr, sehr dankbar.

Lg Anna

Comments

Geht es um Dreiecke oder Kegel? Ist r der Radius und h die Höhe? Wie lautet die Frage?

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Es geht bei dem Kegel um Volumen. Der Axialschnitt zeigt nur zwei Dreiecke. Die Frage lautet: Wie komm ich auf das Volumen, explizit auf das Volumen des einbeschriebenes Kegels in Abhängigkeit von x? Und wir auf die -0,8x² ?

 (-0,8x^{2 *} pi* (x -2,5)) cm³

Ja, r ist der Radius und h die Höhe.

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Text erkannt:

1) \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)
$$ \begin{array}{l}\text { V }_{n}(x)=-0,8 \pi \cdot x^{2}(x-2,5) \text { cm } \\ \text { hex }\end{array} $$

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Hallo Anna,
je mehr ich in den Antworten lese desto weniger
erschließt sich mir der Sachverhalt.

Bitte stelle doch den ORIGINAL-Fragetext
oder ein Foto desselben ein.
Falls ein Bild dabei ist bitte dies auch
einstellen.

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Frage nach dem Buch: (Fotos schicken darf man anscheinend nicht)

Einem Kegel K mit dem Grundkreisradius r = 2,5 cm und der Höhe h = 6 cm werden Kegel Kn mit dem Grundradius x cm und der Höhe h(x) cm einbeschriebenen. Es gilt: Die Spitze der einbeschriebenen Kegel liegt auf dem Mittelpunkt des Grundkreises. Die Grundflächen der Kegel sind parallel.

b) Bestimme die Höhe h der einbeschriebenen Kegel im Abhängigkeit vom Grundkreisradius x [Ergebnis: h(x) = (-2,4x + 6) cm ]

c) Unter den einbeschriebenen Kegeln gibt es einen Kegel K2, dessen Axialschnitt ein rechtwinkliges Dreieck ist. Berechnen x.

d) K3 ist ein gleichseitiges Dreieck, des Axialabschnitt des Kegels. Berechnende x.

e) Zeige, dass sich das Volumen Vn der einbeschriebenen Kegel wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lässt: Vn (x) = [-0,8*pi*x^2 (x - 2,5)] cm³

^{Jup, dass war die ganze Aufgabe. a) ist dabei nicht von Bedeutung, da es sich auf die Oberfläche bezieht. Danke, an alle die geantwortet haben. Das hat mir auf jeden Fall weiter geholfen. Das Vorgehen um auf 0,8 zu kommen ist mir jetzt klar, das Minus davor weniger. Jedenfalls bless you all. Und wirklich danke.}

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Text erkannt:

\( (\sqrt[x]{\frac{1}{\ln y}})_{\frac{1}{2 \sin n}^{2}}^{\frac{1}{6}} \)

 Selbst die Farbe entspricht den Angaben im Buch, besser konnte ich’s nicht darstellen. Und ja, das war ein Fehler bei der vorherigen Skizze, der Radius ist 2,5. Sry, die Skizze war echt bisl geschmiert.

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Habe meine Antwort noch eimal ergänzt (siehe unten).

Answer 1

Das Minuszeichen vor der 0,8 ist unangenehm. Wir nehmen deshalb mal den Faktor (-1) dort raus und geben ihn in die Klammer rein.

Damit lässt sich die Formel auch schreiben als  V(x)=0,8π⋅x²(2,5-x)

Du kennst sicher die Volumenformel V=(1/3)πr²h.

Den Part von πr² übernimmt in deiner Formel πx².

In  V(x)=0,8π⋅x²(2,5-x) ist der Faktor 1/3 "verschwunden".

Wir bekommen ihn wieder, wenn wir 0,8 als 2,4/3 schreiben.

Damit hast du V(x)=(1/3)π⋅x²(2,5-x)⋅2,4.

Vergleiche mal mit V=(1/3)πr²h und überlege, ob das Blaue h sein könnte.

Comments

Ok, das ergibt sich mir schon mal. Und das Minus vor 0,8 ?

Wäre das Volumen, dann nicht

[Vn(x)=(1/3)*pi*x^2 (x - 2,5) * (- 2,4)] ?

Weil in der Lösung steht ganz klar ein -0,8.

Bin bisschen verwirrt deshalb.

Answer 2

Wenn r der Radius des großen Kegels ist, dann muss die 5 in deiner Skizze durch 2,5 ersetzt werden:

Außerdem liegt die Spitze des kleinen Kegels nicht genau auf der Mitte des großenKegels. Sonst sähe das so aus:

 

Jetzt gilt der Strahlensatz \( \frac{6-h(x)}{x} = \frac{6}{2,5} \). Dann ist h(x)=6-2,4x und das Volumen des kleinen Kegels ist V=1/3·x²·(6-2,4x)=2x²-0,8x³.    

Answer 3

Es soll wohl das Volumen des kleinen Kegels
berechnet werden.

 Ich bezeiche den radius des kleinen Kegels mit " x ".

dann klappe ich den oberen Kegel um die " x " Achse
nach unten. Das obere Dreieck und das untere Dreieck
sind deckungsgleich.
Die Spitze des unteren Dreiecks liegt noch nicht
im Ursprung. Damit das der Fall ist muß h1 = h2
und somit h1 = h2 = h / 2 =  6 / 2 = 3 cm sein.
x ist dann r / 2 = 1.25 cm

V = 1/3 * 1.25 ^2  *pi * 3 = 4.91 cm^3

Comments

Nach deiner Antwort auf meine Nachfrage :
Vorbemerkung
Fotos kannst du auch an meine e-mail-
Adresse senden. ( Unter Mitglieder )

Die rechte Seitenlinie des Kegels hat die Punkte
( x | y )
( 2.5 | 0 )
( 0 | 6 )

m = ( 6 - 0 ) / ( 0 -2.5 )
m = -2.4
einsetzen
0 = -2.4 * 2.5 + b
b = 6

h ( x ) = -2.4 * x + 6

Die vollständige Beantwortung aller
Fragen wird nachgereicht.

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c) Unter den einbeschriebenen Kegeln gibt es einen Kegel K2, dessen Axialschnitt ein rechtwinkliges Dreieck ist. Berechnen x.

Ich nehme an der rechte Winkel ist unten
in der Spitze des einbeschriebenen Dreiecks.
Steigungswinkel der Seitenlinie gleich
90 ° / 2 = 45 °.
m = 1.
Funktion g ( x ) = x
Schnittpunkt
h ( x ) = g ( x )
-2.4 * x + 6 = x
6 = x + 2.4 * x
x = 6 / 3.4
x = 1.7647

d) K3 ist ein gleichseitiges Dreieck, des Axialabschnitt des Kegels. Berechnende x.

innenwinkel gleichseitiges Dreieck = 60 °

Steigungswinkel Kegel = 90 ° - 30 ° = 60 °

M = tan ( 60 ) = 1.732
f ( x ) = 1.732 * x

Schnittpunkt
h ( x ) = f ( x )
-2.4 * x + 6 = 1.732 * x

x = 1.452

e) Zeige, dass sich das Volumen Vn der einbeschriebenen Kegel wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lässt: Vn (x) = [-0,8*pi*x2 (x - 2,5)] cm3

x ist der Radius des einbeschriebenen
Kegels. h ( x ) ist die Höhe.

V = 1/3 * Grundfläche mal Höhe
V = 1/3 * x^2 * pi * (-2.4 * x + 6 ) | - 2.4 ausklammern
V = 1/3 * x^2 * pi * -2,4 * (x - 2.5 )
V ( x ) = x^2 * pi * -0.8 * (x - 2.5 )

Darauf einen Dujardin.

Tip des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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Oh, so viel hätt ich gar nicht gebraucht, aber trotzdem danke. Damit hat sich das -0,8 geklärt. Und der Rest auch.

Answer 4

Ich würde erst mal auf Zahlenangaben verzichten:

Aus dem Stahlensatz

große Pyramide P(R,H) , kleine Pyramiede p(r,h)

\(\frac{H}{R} = \frac{H - h}{r} \quad \rightarrow \quad (*)\; h = \frac{H \; R - H \; r}{R}  \)  

\(V_{h}(r) \, :=  \, \frac{1}{3} \; h \; r^{2} \; \pi \quad  h\in\;V_h \quad \rightarrow \quad V(r) \, :=  \, \frac{1}{3} \; r^{2} \; \pi  \; \frac{H \; R - H \; r}{R}\)

Max Vol

\(V'(r)=\frac{-3 \; H \; r^{2} \; \pi  + 2 \; H \; R \; r \; \pi }{3 \; R} = 0 \)

\(\rightarrow \quad \left\{ r = \frac{2}{3} \; R, r = 0 \right\} \)

\(r \in (*) \quad \rightarrow \quad  h = \frac{1}{3} \; H   \)

wegen

V_p(r,h) = (2/3 R)^2 * pi * (1/3 H) /3 = (2/3)^2*1/3 R^2 pi H/3 

V_p(r,h) = 4/27 V_P(R,H)