Wie kann man folgendes Integral lösen?

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{1}^{9} \) (\( \frac{2x - \sqrt{x}}{x} \)) dx  

Problem/Ansatz:

ich habe zuerst umgeformt zu 2 - \( \frac{\sqrt{x}}{x} \) und dann zu 2 - x^(1÷2) × x^(-1), aber dann komme ich nicht weiter. Brauche ich hierbei die partielle Integration?

Answer 1

Hallo,

2-√x /x =2-1/√x = 2- x^{-1/2}

Jetzt kannst du summandenweise integrieren.

Comments

Und wie kommt man darauf?

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Ich habs! ist ja das Selbe, wie x^0,5 × x^(-1) und das ergibt x^(-0,5)

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Du hast ja oben bereits richtig zu

2-x^{1/2}*x^{-1} umgeformt

Für den zweiten Summanden verwendest du nun das Potenzgesetz:

a^m *a^n =a^{m+n}

Dann bleibt im Exponenten

(1/2-1)=(-1/2)

Answer 2

( 2* x - √ x ) / x

( 2 - √ x ) / x
( 2 - x ^(1/2) * x ^(-1) 
2 - x^ (1/2-1)
2 - x^ (-1/2)
Stammfunktion
2x - x^ (-1/2+1) / (1/2)
2x - x^(1/2) * 2
2x - 2 * √ x