Stetigkeit einer Funktion (Verständnisfrage)

Question

Ich habe gerade eine Beispielsaufgabe in einem Buch gefunden und komme gerade nicht drauf, weshalb \( x=1-h \) mit \( h>0 \) und \( x=1+h \) mit \( h>0 \) gesetzt wird, woher man das h nimmt.

Über Hilfe wäre ich dankbar. Ich würde es gern verstehen wollen. :-)

Die Funktion \( f(x)=\sqrt{|x-1|} \) ist uberall definiert, da \( |x-1| \geq 0 \) ist für jedes reelle \( x \). Wir untersuchen, ob sie an der Stelle \( x_{0}=1 \) stetig ist.
Funktionswert an der Stelle \( x_{0}=1: f(1)=0 \)
Linksseitiger Grenzwert \( g_{l}: \) Wir setzen \( x=1-h \) mit \( h>0 \) und erhalten:
$$ g_{l}=\lim \limits_{x \rightarrow 1 \atop(x<1)} f(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sqrt{|1-h-1|}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sqrt{|-h|}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sqrt{h}=0 $$
Rechtsseitiger Grenzwert \( g_{r}: \) Wir setzen \( x=1+h \) mit \( h>0 \) und erhalten:
$$ g_{r}=\lim \limits_{x \rightarrow 1 \atop(x>1)} f(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sqrt{|1+h-1|}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sqrt{|h|}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sqrt{h}=0 $$
Somit ist \( g_{r}=g_{l}=0 \) und die Funktion besitzt an der Stelle \( x_{0}=1 \) den Grenzwert \( \quad g=0 . \) Funktionswert und Grenzwert stimmen also an der Stelle \( x_{0}=1 \) überein, die Funktion ist daher an dieser Stelle stetig.

Answer 1

Aloha :)

Zur Betrachtung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0=1\) musst du dir die Umgebung von \(x_0=1\) anschauen. Wenn du dir den Bereich links von \(x_0=1\) ansehen möchtest, musst du ein klein bisschen von der \(1\) abziehen. Daher setzt man für die linksseitige Betrachtung \(x=x_0-h=1-h\) mit \(h>0\) ein. Durch \(h>0\) ist sicher gestellt, dass du auch wirklich was von der \(1\) abziehst, denn währe \(h<0\) würdest du etwas Negatives subtrahieren, was aber einer Erhöhung entspräche. Zur Betrachtung des Wertes rechts von \(x_0=1\) gehst du analog vor und setzt \(x=x_0+h=1+h\), wieder mit \(h>0\).

Du untersuchst nun, ob sich die Funktionswerte \(f(x_0-h)\) links von \(x_0\) und \(f(x_0+h)\) rechts von \(x_0\) annähern. Diese Untersuchung führst du durch, indem du den Grenzwert \(h\to0\) bildest, streng genommen sogar den Grenzwert \(h\searrow0\), also "von den positiven Zahlen her" gegen \(0\). Das heißt, \(h\) ist bei der ganzen Betrachtung positiv, sonst könntest du in der Rechnung z.B. \(\sqrt h\) nicht verwenden. Wenn die Funktionswerte \(f(x_0-h)\) und \(f(x_0+h)\) also, die linke und die rechte Seite, gegen denselben Wert konvergieren und dieser Wert gleich \(f(x_0)\) ist, dann ist die Funktion stetig an der Stelle \(x_0\).

Answer 2

Ich nehme an : die Funktion
x ( h ) = 1 - h ; für h > 0
und
x ( h ) = 1 + h ; für h > 0 ...

Hier stimmt es bereits nicht

Die geteilte Funktion ist beide Male für h > 0 definiert.
Bitte überprüfe dies.

Comments

Du verstehst die Frage nicht.

---

Fehlerhinweis:

Es handelt sich nicht um eine geteilte Funktion, sondern zwei verschiedene Funktionen

x_links (h) = 1-h

und

x_rechts (h)=1+h

deren Definitionsbereich ℝ^{+} ist.