Warum ist das Inverse in Gruppen eindeutig bestimmt?

Question

Angeblich ist das Inverse in Gruppen eindeutig bestimmt. Ich behaupte aber folgendes..

in der Gruppe N+ gilt

a + b = b + a = x    das inverse von a hier ist b

a + c = c + a = z    das inverse von a hier ist c

also nicht eindeutig bestimmt... Wo liegt mein Fehler?

DANKE

Comments

Was soll denn N+ sein? Außerdem fehlt die Verknüpfung.

Falls $(\mathbb{N}^+, +)$ gemeint ist, handelt es sich nur um eine Halbgruppe.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du auf ein Element $a$ mit seinem inversen Element $\tilde a$ verknüpfst, muss nicht irgendein Element rauskommen, sondern das neutrale Element $0$ der Gruppe:$$a+\tilde a=0$$Bei dir sind also $x=0$ und $z=0$:$$a+b=b+a=0\quad;\quad a+c=c+a=0\quad\Rightarrow\quad a+b=a+c\quad\Rightarrow\quad b=c$$Ist in $N^+$ überhaupt ein neutrales Element? Oder anders gefragt, ist es überhaupt eine Gruppe?

Comments

danke für die schnelle Antwort !

Answer 2

Hallo,

das ist gar keine Gruppe.

Comments

danke, das erklärt den Fehler ^^