Aloha :)
Ich stelle mir sowas gerne tabellarisch dar:
| spart
| spart nicht
|
|
Junge
| 4
| 10
| 14
|
Mädchen
| 4
| 7
| 11
|
| 8
| 17
| 25
|
Daraus lassen sich die Antworten nun ablesen.
a) Die ausgewählte Person gehört zur Grupper der Sparer (sind 8 Leute), davon sind 4 Mädchen. Die gesuchte WK ist also:$$p_a=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$b) Es werden 4 Leute ausgewählt, es soll genau 1 Sparer darunter sein.
b1) Mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Sparer immer dieselbe, nämlich \(\frac{8}{25}\). Die Wahrscheinlichkeit für genau 1 Sparer ist daher:$$p_{b1}=\binom{4}{1}\cdot\left(\frac{8}{25}\right)^1\cdot\left(\frac{17}{25}\right)^3=40,2473\%$$Die Exponeten 1 und 3 kommen daher, dass 1 Sparer und 3 Nicht-Sparer gezogen werden sollen. Der Binomialkoeffizient \(\binom{4}{1}=4\) berücksichtigt, dass dieser 1 Sparer als erstes, als zweites als drittes oder als viertes gezogen werden kann.
b2) Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in jedem Zug, weil ja beim ersten Zug 25 Schüler zur Auswahl stehen, beim zweiten Zug nur noch 24... Das rechnen wir so. Es gibt 8 Sparer und 17 Nicht-Sparer. Von den 8 Sparern muss 1 gezogen werden, dafür gibt es \(\binom{8}{1}\) Möglichkeiten. Von den 17 Nicht-Sparern müssen 3 gezogen werden. Dafür gibt es \(\binom{17}{3}\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es 25 Schüler, aus denen 4 gezogen werden sollen, dafür gibt es \(\binom{25}{4}\) Möglichkeiten:$$p_{b2}=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl mögicher Fälle}}=\frac{\binom{8}{1}\cdot\binom{17}{3}}{\binom{25}{4}}=\frac{8\cdot680}{12\,650}=43,0034\%$$
Der Unterschied beträgt etwa \(2,75\) Prozentpunkte.
Wenn mehr Schüler zur Auswahl stehen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen weniger stark im Vergleich zu den konstanten Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit Zurücklegen. Daher ist der Unterschied in den beiden Berechnungen dann auch geringer.
