Sei Φ : Hom(V, W ) → Mm,n(K) definiert durch Φ(f ) = MatB,B′ (f ). Zeigen Sie, dass Φ linear ist.

Question

Seien V und W Vektorräume mit dim V = n,dim W = m und mit Basen B und B′.

Sei Φ : Hom(V, W ) → M_m,n(K) definiert durch Φ(f ) = Mat_B,B′ (f ).

Zeigen Sie, dass Φ linear ist.

Answer 1

Du musst zeigen, dass:

1. Φ: (Hom(V, W), +) → (M_m,n(K), +) ist ein Gruppenhomomorphismus, also dass für alle x, y∈Hom(V, W) gilt: Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)

2. Für alle x∈K, v∈Hom(V, W) gilt: Φ(x*v)=x*Φ(v)

Comments

wie sieht dieses Element x bzw. y aus? Das sind Abbildungen?

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Ja, Hom(V, W) ist die Menge aller linearen Abbildungen.

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Beweis:

Code: 1.\quad Sei\quad x,y\in Hom(V,W).\quad Dann\quad gilt:\\ Φ(x+y)=\begin{pmatrix} { x }_{ 11 }+{ y }_{ 11 } & { x }_{ 1n }+y_{ 1n } \\ { x }_{ m1 }+y_{ m1 } & { x }_{ mn }+{ y }_{ mn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { x }_{ 11 } & { x }_{ 1n } \\ { x }_{ m1 } & { x }_{ mn } \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} { y }_{ 11 } & y_{ 1n } \\ y_{ m1 } & { y }_{ mn } \end{pmatrix}=Φ(x)+Φ(y)\\ 2.\quad Sei\quad \lambda \in K,\quad x\in Hom(V,W).\quad Dann\quad gilt:\\ Φ(\lambda *x)=\begin{pmatrix} { \lambda *x }_{ 11 } & { \lambda *x }_{ 1n } \\ { \lambda *x }_{ m1 } & { \lambda *x }_{ mn } \end{pmatrix}=\lambda *\begin{pmatrix} { x }_{ 11 } & { x }_{ 1n } \\ { x }_{ m1 } & { x }_{ mn } \end{pmatrix}=\lambda *Φ(x)

Answer 2

DAs ist vom Fragesteller einfach reingeschmissen, aber ich würde mich über eine nachvollziehbare Antwort auch freuen :-)

Comments

ich würde mich hier ebenfalls sehr freuen.. absoulut garkeine Ahnung was man hier machen muss :/

 

punkte für die qualifikation rücken leider immer weiter in die Ferne :(