Bruch Kreuzprodukt vereinfachen

Question

Ich soll den folgenden Bruch vereinfachen. Dies hab ich auch gemacht und komme auch auf das richtige Ergebnis von 1. Dabei bin ich mir aber bei dem Rechenweg nicht sicher, ob ich da alles richtig gemacht habe. Hoffe jemand kann meine Lösung bestätigen oder korrigieren. Upload failed: [object Object]

Answer 1

Aloha :)

Dein Ergebnis ist richtig, aber der Rechenweg ist völlig falsch. Du musst dir klar machen, dass ein Skalarprodukt eine Zahl ist, kein Vektor. Außerdem ist \(\vec a\cdot\vec b\ne a\cdot b\), die Gleichheit gilt nur, wenn die Vektoren parallel oder gleich sind. Gerne empfehle ich dir zwei sehr nützliche Rechenregeln im Umgang mit dem Vektorprodukt:

1) Das Spatprodukt kann man zyklisch rotieren, d.h.$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b$$2) Die Graßmann-Identität (auch "bac-cab"-Regel genannt):$$\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec a\cdot\vec c)-\vec c(\vec a\cdot\vec b)$$Damit wenden wir uns der Formel \(F\) zu:$$F=\frac{(\vec a\times\vec b)\cdot\overbrace{(\vec a\times\vec b)}^{=:\vec c}+(\vec a\cdot\vec b)^2}{(\underbrace{\vec a\cdot\vec a}_{=a^2})\cdot(\underbrace{\vec b\cdot\vec b}_{=b^2})}\;\stackrel{(1)}{=}\;\frac{(\vec b\times\overbrace{(\vec a\times\vec b)}^{=\vec c})\cdot\vec a+(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2b^2}$$$$\phantom{F}\stackrel{(2)}{=}\frac{(\vec a\cdot(\vec b\cdot\vec b)-\vec b\cdot(\vec b\cdot\vec a))\cdot\vec a+(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2b^2}=\frac{(\overbrace{\vec a\cdot\vec a}^{=a^2})(\overbrace{\vec b\cdot\vec b}^{=b^2})-\overbrace{(\vec b\cdot\vec a)\cdot(\vec b\cdot\vec a)}^{=(\vec a\cdot\vec b)^2}+(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2b^2}$$$$\phantom{F}=\frac{a^2b^2-(\vec a\cdot\vec b)^2+(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2b^2}=1$$

Answer 2

Dies ist unübersichtlich.

Tipp:Schreibe das Kreuzprodukt vollständig hin,so wie es im Mathe-Formelbuch steht und rechne dann alles "Schritt für Schritt" durch.

Es ist immer von Vorteil,wenn man einfache Zahlenwerte einsetzt und so kann man jeden Rechenschritt auf Richtigkeit prüfen

Beispiel: a(1/2/3) und b(4/5/6)

a kreuz b=c  ergibt mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)  c=-3*x+6*y-3*z  Betrag (c)=7,348..

Comments

Das würde ja zu lange dauern. Aber ist das Vorgehen wie ich es gemacht habe richtig?

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Über die Schritt für Schritt-Vorgehensweise,kannst du ja einmal der Term

(a kreuz b)*(a kreuz b) ermitteln und den dann in deinen Unterladen aufnehmen.

Solch eine Aufgabe habe ich schon sehr lange nicht mehr berechnet.

Das Kreuzprodukt habe ich in meinem GTR einprogrammiert (ein Programm geschrieben)

Ich selber müßte bei dieser Aufgabe erst mal stundenlang die ganzen Formeln in meinem Mathe-Formelbuch durchrechnen

Answer 3

Hallo,

hier eine einfache Berechnung des Zählers:
(axb)*(axb) +(ab)^2=|axb|^2 +|a|^2|b|^2 cos(phi)
=|a|^2*|b|^2*sin^2(phi) +|a|^2|b|^2 cos(phi)
=|a|^2*|b|^2