Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen U Untervektorraume der gegebenen Vektorraume V sind

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen U Untervektorräume der gegebenen Vektorräume V sind

V = R²

 x ∈R²

$$ U = \begin{pmatrix} 2x\\x+1\\ \end{pmatrix}  $$

Problem/Ansatz:

Wenn ich nun für x = 0 einsetze kann habe ich $$ U = \begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} $$

dann sehe ich ja, dass der Nullvektor nicht enthalten ist und kann auch sagen, dass es sich hierbei um keinen Untervektorraum handelt?

Answer 1

Aloha :)

Du hast 3 Forderungen an einen Untervektorraum \(U\).

(1) \(\;U\) darf nicht leer sein. Das ist äquivalent dazu, dass der Nullvektor enthalten sein muss:$$U\ne\{\}\quad\text{bzw.}\quad\vec 0\in U$$(2) \(\;U\) ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen:$$\vec x,\vec y\in U\quad\Rightarrow\quad \vec x+\vec y\in U$$(3) \(\;U\) ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen:$$\alpha\in\mathbb{R},\vec x\in U\quad\Rightarrow\quad \alpha\cdot\vec x\in U$$Wenn ihr in der Vorlesung die Bedinung (1) so formuliert habt, dass \(U\) nicht leer sein darf. Kannst du zunächst aus (3) folgern, dass der Nullvektor enthalten sein muss:$$(3)\quad\Rightarrow\quad 0\cdot\vec x=\vec 0\in U$$Du liegst also mit deiner Argumentation völlig richtig.