Welche der folgenden Mengen sind Untervektorraume der angebenen Vektorraume?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angebenen Vektorräume?

{(x₁, x₂, x₃)^T ∈ R^3 : x₁ = x₂ = 2x₃} ⊂ R^3

{(x₁, x₂)T ∈ R^2: x^2₁ + x^4₂ = 0} ⊂ R^2

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,

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand diese zwei Aufgaben vorrechnen?

Vielen dank..

Answer 1

1. Die erste Menge ist ein linearer Unterraum, denn sie ist Kern der linearen Abbildung mit folgender darstellenden Matrix:

\(M=\begin{pmatrix} 1&0&-2 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix}\)

Dass die erste Koordinate 0 ist, bedeutet dass \(x_1-2x_3=0\), die zweite Koordinate gibt \(x_1-x_2=0\), was deinen Raum charakterisiert. So kannst du im Allgemeinen sehr häufig vorgehen, wenn du eine Beziehung durch mehrere lineare Gleichungen angeben kannst.

2. Die zweite Menge ist überraschenderweise auch ein Unterraum. Wie sieht die Menge explizit aus?