ich habe eine Folge, die wie folgt rekursiv definiert ist:
$$a_1 := a, a_2 := b, a_n := \frac{1}{2} ( a_{n-1} + a_{n-2} ), n \ge 3 $$
und diese explizit definierte Folge:
$$b_n := \frac{1}{3} \cdot ( 4 \cdot (- \frac{1}{2} ) ^n \cdot ( b - a ) + a + 2b ), n \ge 3$$
Und ich wollte jetzt zeigen, dass $$a_n = b_n \forall n \ge 3$$
Da dachte ich natürlich zuerst an vollständige Induktion. Aber ich bin mir dabei nicht sicher, was ich genau in der vollständigen Induktion beweisen muss.
Eine Idee von mir, war:
(Induktionsanfang) $$n = 3: a_3 = b_3$$
(Induktionsschluss) $$n \rightarrow n + 1: a_{n+1} = b_{n+1}$$
Dabei ist halt $$a_{n+1} = \frac{1}{2} ( a_n + a_{n-1} )$$.
Also ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das jetzt zeigen soll. Ich kann zeigen $$b_{n+1} = \frac{1}{2} ( b_n + b_{n-1} )$$, wenn ich obige Definition für bn so umforme. Würde das für den Induktionsschritt reichen?
Also wie mache ich hier eine korrekte vollständige Induktion?
Danke,
Thilo
