Gleichheit einer rekursiv und explizit definierten Folge beweisen

Question

ich habe eine Folge, die wie folgt rekursiv definiert ist:

$$a_1 := a, a_2 := b, a_n := \frac{1}{2} ( a_{n-1} + a_{n-2} ), n \ge 3$$

und diese explizit definierte Folge:

$$b_n := \frac{1}{3} \cdot ( 4 \cdot (- \frac{1}{2} ) ^n \cdot ( b - a ) + a + 2b ), n \ge 3$$

Und ich wollte jetzt zeigen, dass $$a_n = b_n \forall n \ge 3$$

Da dachte ich natürlich zuerst an vollständige Induktion. Aber ich bin mir dabei nicht sicher, was ich genau in der vollständigen Induktion beweisen muss.

Eine Idee von mir, war:

(Induktionsanfang) $$n = 3: a_3 = b_3$$

(Induktionsschluss) $$n \rightarrow n + 1: a_{n+1} = b_{n+1}$$

Dabei ist halt $$a_{n+1} = \frac{1}{2} ( a_n + a_{n-1} )$$.

Also ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das jetzt zeigen soll. Ich kann zeigen $$b_{n+1} = \frac{1}{2} ( b_n + b_{n-1} )$$, wenn ich obige Definition für bn so umforme. Würde das für den Induktionsschritt reichen?

Also wie mache ich hier eine korrekte vollständige Induktion?

Danke,

Thilo

Comments

Hat sich erledigt. Habe es hinbekommen.

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Bitte Lösung für die Nachwelt posten.

Answer 1

a₁ = a
a₂ = b
a₃ = 1/2·(a₂ + a₁) = 1/2·(b + a) = a/2 + b/2

b₁ = 1/3·(4·(- 1/2)¹·(b - a) + a + 2·b) = a
b₂ = 1/3·(4·(- 1/2)²·(b - a) + a + 2·b) = b
b₃ = 1/3·(4·(- 1/2)³·(b - a) + a + 2·b) = a/2 + b/2

Nun zeige ich das gilt

b_n = 1/2·(b_n-1 + b_n-2)

1/3·(4·(- 1/2)^(n)·(b - a) + a + 2·b) = 1/2·(1/3·(4·(- 1/2)^(n-1)·(b - a) + a + 2·b) + 1/3·(4·(- 1/2)^(n - 2)·(b - a) + a + 2·b))

1/3·(4·(- 1/2)^(n)·(b - a) + a + 2·b) = 1/6·(4·(- 1/2)^(n-1)·(b - a) + a + 2·b) + 1/6·(4·(- 1/2)^(n - 2)·(b - a) + a + 2·b)

2·(4·(- 1/2)^(n)·(b - a) + a + 2·b) = 4·(- 1/2)^(n-1)·(b - a) + a + 2·b + 4·(- 1/2)^(n - 2)·(b - a) + a + 2·b

8·(- 1/2)^(n)·(b - a) + 2·a + 4·b = 4·(- 1/2)^(n-1)·(b - a) + a + 2·b + 4·(- 1/2)^(n - 2)·(b - a) + a + 2·b

8·(- 1/2)^(n)·(b - a) = 4·(- 1/2)^(n-1)·(b - a) + 4·(- 1/2)^(n - 2)·(b - a)

2·(- 1/2)^(n) = (- 1/2)^(n-1) + (- 1/2)^(n - 2)

2·(- 1/2)^(n) = -2·(- 1/2)^(n) + 4·(- 1/2)^(n)

2 = -2 + 4 → wahr