Wie berechne ich diese Spurgerade?

Question

Bestimmen Sie die Gleichungen der Spurgeraden der Ebene E.

c) E: -3x+5y-z=15

Das ist mein Ansatz:

E: x/-5 + y/3 -z/15 = 1

So kann ich nun die Punkte direkt ablesen. x(-5|0|0) y(0|3|0) z(0|0|-15). Daraus habe ich eine Parametergleichung bestimmt.

E: x= (0|0|-15)+r(-5|0|15)+s(0|3|15)

Für die Syz : x=0

-5r=0 ⇔ r=0

gyz:x=(0|0|-15)+s(0|3|15)

Das Ergebnis lautet aber gyz:x=(0|0|-15)+r(0|1|5)..

Kann jemand mal darüber gucken und mir sagen wieso das falsch ist.

Answer 1

Hallo nike,

... und mir sagen wieso das falsch ist.

gar nichts ist falsch! Dein Richtungsvektor ist lediglich 3-mal so lang, wie der in der Vergleichslösung. Die Länge des Richtungsvektors und auch seine Orientierung ist für eine Geradengleichung unerheblich. Und auch der Aufpunkt - hier (0|0|-15) - könnte auf der Geraden verschoben sein.

Comments

Dankeschön für Ihre Hilfe!

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freut mich, wenn ich Dir helfen konnte.

Noch ein Hinweis: Da man Richtungsvektoren bei Geraden 'beliebig' verlängern oder verkürzen kann, versucht man auch Koordinaten zu erzeugen, die zum einen ganze Zahlen sind und zum anderen möglichst klein sind.

Also eine Kombination (0|3|15) sollte man schon auf (0|1|5) runter 'kürzen'. Das rechnet sich anschließend leichter. Gleiches gilt für sowas $$\begin{pmatrix} 0\\ 2/3\\ -5/6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0\\ 4\\ -5 \end{pmatrix}$$beide sind identische Richtungsvektoren mit unterschiedlicher Länge, aber der rechte ist natürlich gefälliger.

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Danke für die ausführliche Erklärung! Ich war erst total verwirrt und habe die Aufgabe mehrmals gemacht, aber jetzt weiß ich, dass ich die Richtungsvektoren ggf. „kürzen“  kann. :)

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... und ich wundere mich, dass Du das vorher nicht wusstest ;-) aber es geht anderen genauso. Schau Dir mal folgende Skizze an. Dort habe ich eine Gerade \(g\) eingezeichnet.

(klick auf das Bild)

Die Gerade \(g\) hat die Gleichung(en) $$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}2\\ -5\\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\ 3\\ 5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}2\\ -4\\ -2\end{pmatrix}$$siehst Du, dass es sich um die identische Gerade \(g\) handelt? In der Zeichnung sieht man es natürlich gleich, \(A_1\) und der rote Vektor sind die linke Form und \(A_2\) mit dem grünen Vektor ist die rechte. Aber in der Rechnung ist die Identität nicht so offensichtlich. Setzt man für \(r=2 - \frac t2\) kann man die rechte Form in die linke überführen.

Schaue es Dir an, rechne es nach und denke drüber nach. Wenn Du die Punkt-Richtungs-Form der Geraden wirklich verstanden hast, muss Dir das niemand mehr erklären ;-)

PS.: im Bild habe ich die Gerade leicht versetzt gezeichnet, damit man die Vektoren besser sieht.

Answer 2

g_yz:x=(0|0|-15)+s(0|3|15)

Das Ergebnis lautet aber g_yz:x=(0|0|-15)+r(0|1|5)..

Das sind verschiedene Darstellungen der gleichen Spurgeraden.