geradengleichungen rechtwinklig

Question

Aufgabe:

Eine Gruppe von Hochseilartisten spannt ein Stahlseil zwischen zwei senkrechten Masten, die 400m voneinander entfernt sind. Der Verlauf des Stahlseils wird beschrieben durch die Funktion f(x)=5*(e^(0,01x)+e^(-0,01x))

Nun zur Frage:

An ihren Spitzen sollen die Maste durch Halteseile gesichert werden, die orthogonal zur Tangente an das Stahlseil an der Mastspitze verankert werden. Berechnen Sie die notwendige Länge der Sicherungsseile.

Ich sitze seit einer Stunde an dieser Aufgabe und habe schon einiges versucht. Ich habe bereits die Steigungen ausgerechnet. Dazu habe ich die Ableitung der oben gegebenen Funktion genutzt und den Wert 200 eingesetzt: f‘(200)=0,05(e^(0,01x)-e^(-0,01x)). Da kam 0,36 raus.

Dann habe ich m2=-1/m1 gerechnet und bekam -2,77 raus.

Weiter habe ich eine Gleichung für die Orthogonale des Stahlseils berechnet: f(x)=0,36x-34,38

Nun weiß ich nicht weiter, da mir für die zweite Orthogonale einmal der x-Wert sowie das n aus der Gleichung f(x)=m*x+n fehlt

Comments

Steigung m₂  , also die Steigung der zur Tangenten orthogonalen Gerade muss 2,78 sein und nicht -2,78 ...

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Kann ich den die negativ errechnete Steigung einfach positiv machen? Also das - weglassen?

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Oh sorry, ich glaube ich war auf der anderen Seite... Also an der Stelle x=-200

Answer 1

Weiter habe ich eine Gleichung für die Orthogonale des Stahlseils berechnet: f(x)=0,36x-34,38

Da stimmt etwas nicht. Der y-Achsenabschnitt müsste positiv sein. Und was ist aus deinem m₂ geworden?

Nun weiß ich nicht weiter

Berechne die Nullstelle x₀ der Orthogonalen (natürlich die Othogonale vorher korrigieren).

Berechne dann mit Pythagoras den Abstand zwischen den Punkten (200 | f(200)) und (x₀ | 0).

Comments

Jedoch verläuft die orthogonale von rechts oben nach links unten, deswegen dachte ich, es sei richtig. Ich habe dort gerechnet: 37,62=0,36*200+n

Der Punkt (200/0) sowie (0/37,62) ist gegeben bzw. habe ich die 37,62 in einer vorigen Teilaufgabe berechnet

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Jedoch verläuft die orthogonale von rechts oben nach links unten

Die Orthogonale an der Stelle 200 verläuft von links oben nach rechts unten.

Die Orthogonale an der Stelle -200 verläuft von links unten nach rechts oben.

Ich habe dort gerechnet: 37,62=0,36*200+n

Verwende stattdessen

        37,62 = -2,77·200+n

weil ja m₂ die Steigung der Orthogonalen ist.

Answer 2

Steigung m2  , also die Steigung der zur Tangenten orthogonalen Gerade muss 2,78 sein und nicht -2,78 ...

Answer 3

Die Mastspitzen wären dann bei (-20;37,62 ) und (20; 37,62 )

und in denen wären die Steigungen -0,363 und 0,363

und die Orthogonalen hätten dann die Steigungen 2,76  und -2,76

und müssten ja auch durch die Mastspitze gehen.

Die Gleichung des linken Halteseiles wäre dann

y=mx+n    eingesetzt 37,62 = 2,76*-20+n

   n=92,82 also    y = 2,76*x+92,82

Die Länge des Seiles ergibt sich durch die Nullstelle -33,63

(Da ist das Seit am Boden festgemacht.)

Und die Länge dann mit Pythagoras √(13,63^2 + 37,62^2) ≈ 40,01

Comments

Also die Steigung 0,363 bekam ich ja durch die Ableitung der Ausgangsfunktion am Punkt 200. Ist das dann nicht bereits die eine Orthogonale?

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Das ist die Steigung der Tangenten!

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i ist der Graph der Tangente, t ist der Graph der Orthogonalen. Wenn jetzt i(x)=m₁x+n₁ und t(x)=m₂x+n₂ , dann gilt m₂ =-1/m₁

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Das heißt, es war richtig, zunächst die Steigung der Tangente zu berechnen, jedoch brauche ich diese Steigung nur, um mir die Steigung der orthogonalen zu berechnen mithilfe von m2=-1/m1 ?

Oder wie komme ich sonst auf die Steigung der orthogonalen?

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Genauso würde ich es machen ja!

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Super danke! Das heißt, der Ansatz m2=-1/m1 ist richtig? Weil das setzt ja voraus, dass die Tangente gleichzeitig eine orthogonale ist. Ist das denn der Fall?

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Zwei Geraden in der euklidischen Ebene, mit y1=m1x+n1 und y2=m2+n2 sind genau dann orthogonal, wenn gilt: m1•m2=-1. Daraus folgt für m2: m2=-1/m1, was du in deinem Beispiel machen darfst, da m1≠0.

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Okay super danke! Das hat mir alles echt weitergeholfen!