Fehlende Koordinate bestimmen (Vektor)

Question

Aufgabe)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C, der auf der positiven x-Achse liegt und von dem Punkt B doppelt soweit entfernt ist wie von dem Punkt A

A=(0;4;0) B=(3;0;10) da C auf der positiven x-Achse liegen soll C=(X;0;0)

Ich hatte den Gedanken folgende Gleichung aufzustellen \( \vec{AB} \) = \( \vec{AC} \) + \( \vec{CB} \) demzufolge

\( \begin{pmatrix} 3\\-4\\10 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} x\\-4\\0 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 3-x\\0\\10 \end{pmatrix} \)

Daraus folgt : \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\10 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} x+3-x\\-4\\-10 \end{pmatrix} \)

Dadurch erhalte ich x ist gleich 3

Wenn ich die Längen des gleichschenkligen Dreiecks bilde erhalte ich einmal für \( \vec{CB} \) = \( \sqrt{(3-3)^2 + 10^2} \) = 10

Und für \( \vec{CA} \) = \( \sqrt{(-3)^2 + 4^2} \) = 5

Meine Frage ist ob der Lösungsweg richtig ist?

Comments

Sehe einen Tippfehler natürlich +10 statt -10

Answer 1

Dadurch erhalte ich x ist gleich 3.

Nein, die Gleichung gilt doch für jedes x.

Du musst das mit der doppelten Länge irgendwie einbringen,

etwa in der Form |CB| = 2*|CA| mit deinem Ansatz also

\(| \begin{pmatrix} x-3\\0\\-10 \end{pmatrix} | \) = \(2*| \begin{pmatrix} x\\-4\\0 \end{pmatrix} | \)

Das gibt

√((x-3)^2 + 100 ) = 2*√((x^2 +16))

<=> x^2 - 6x +109 = 4x^2 + 64

<=>   0 = 3 x^2 + 6x  - 45

<=>   0 = x^2 + 2x - 15

und das hat mit pq-Formel die Lösungen

x=3 oder x=-5 . Und da x positiv sein soll ergibt sich

 - wie bei dir - der Wert x=3. Und dass die Probe stimmt , hast

du ja vorgerechnet.

Comments

Danke hab’s verstanden