Nullstellen bestimmen mit Verfahren

Question

Bestimmen Sie die postive Nullstelle der Funktion f(x) = x^3+x^2-4 mithilfe des Verfahrens von Netwon-Raphson. Startwert x0=1,4

Answer 1

Newton - Verfahren:

x₁ = x0 -(f(x0)/f´(x0))

x0 = 1,4

f´(x) = 3x²+2x

Somit ergibt sich:

x1  = 1,31889

x2 = 1,3146

also wenn du es weiter machst lautet die Nullstelle ungefähr x ≈ 1,314596

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=x^3+x^2-4\quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^2+2x\quad;\quad x_0=1,4$$$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^3+x_n^2-4}{3x_n^2+2x_n}$$

Das konvergiert sehr schnell gegen \(1,314596212\).

Answer 3

f'(x) = 3x² + 2x

x₁ = x₀ + f(x₀)/f'(x₀)
    = 1,4 + (1,4³ + 1,4² - 4)/(3·1,4² + 2·1,4)
    = 1,31889

x₂ = x₁ + f(x₁) / f'(x₁)
    = 1,31889 + (1,31889³ + 1,31889² - 4)/(3·1,31889² + 2·1,31889)
    = 1.31461

...

x_n+1 = x_n + f(x_n) / f'(x_n)

Wiederhole bis du die gewünschte Genauigkeit erreicht hast.

Answer 4

Du beginnst mit xo=1,4 und berechnest das nächste x immer mit

x_n+1=x_n - f(x_n)/f ' (x_n) .  siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren#Newtonverfahren_für_reelle_Funktionen_einer_Veränderlichen

x₀=1,4 ==>

x₁ =1,4 -  f(1,4)/f'(1,4) =1,4 -  0,704/8,68 =1,319

x₂=1,319 - 0,0337/7,856 =1,3146    etc.

Answer 5

Hallo,

Newtonverfahren:
Ausgehend von einem braubaren Startwert findet man immer bessere Näherungsswerte mit der Formel
\(x_{neu} =  x_{alt} - \dfrac{f(x_{alt})}{ f' (x_{alt})}\)

Gruß Wolfgang