Die Ebene E enthält die Geraden g und h. Bestimme eine Gleichung von in parameterfreier Form.

Question

Text erkannt:

\( g: \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -3 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \) mit \( r \in \mathbb{R} \) und \( h: \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -3 \\ 3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \) mit \( s \in \mathbb{R} \)

 Gegeben sind diese Geraden.

Die Ebene E enthält die Geraden g und h.
Bestimme eine Gleichung von in parameterfreier Form.

Answer 1

Ein Normelenvektor ist das Vektorprodukt der beiden gegebenen Richtungsvektoren, also

           0
n =    -10
           0

Damit hat E eine Koordinatengleichung der Art

0*x -10*y +0z = d

und ein Punkt von E ist (3;-3;3) also ist eine Gleichung

E :  -10y = 30

Comments

Stimmt y=-3 auch ?

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Na klar , ist ja sogar noch was eleganter.

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Ich habe noch eine Frage, und zwar muss ich aus den Punkten A (0/ 30 / 15), B ( -25 / 5 /15 ) und C (-10 / 10 / 35 ) eine Ebene bilden (Koordinatenform).

Nach meinen Kameraden ist die richtige Lösung : E: 2x-2y-z = -75.

Doch ich bekomme -2x-2y+z = -45 raus, ich rechne jedoch mit dem Kreuzprodukt. Ist dies auch richtig ?

Hoffe kannst mir helfen !

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ich bekomme -2x-2y+z = -45

Probe mit A (0/ 30 / 15):

-2*0 -2*30 + 15 = -45 (passt)

Probe mit B (-25/ 5 / 55):

-2*(-25) -2*5 + 15 = 55 (passt also nicht.)

Kontrolliere mal, ob du nicht doch -2x+2y+z = 75 bekommen hast

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Ist der Normalenvektor überhaupt richtig ? Wie gesagt haben meine Freunde einen anderen.

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Und ich habe halt mit dem Kreuzprodukt von C und B gerechnet.

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Solange die x und z Komponente Null ist und die y-Komponente ungleich Null sollte das richtig sein. Es gibt nicht den Normalenvektor.

Ich habe  [0, 1, 0] benutzt, weil das der kleinste mit ganzzahligen Komponenten ist.

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Könnte man aber nicht aus den gegeben Punkten 2 Spannvektoren bilden und daraus einen Normalenvektor ?

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Du hast nur einen Punkt (3|-3|3) und zwei Spannvektoren gegeben.

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Und ich habe halt mit dem Kreuzprodukt von C und B gerechnet.

Das ist doch Unfug. Man bildet nicht das Kreuzprodukt von Punkten, sondern von Vektoren, die von einem Punkt zu jeweils einem anderen Punkt führen.

Im Übrigen solltest du klarstellen, ob es dir noch um die ursprüngliche Aufgabe oder um

Ich habe noch eine Frage,

geht.

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Ich glaube hier handelt es sich um ein Missverständnis ^^ Meine Frage war nur ein Kommentar unter diesem Beitrag wir reden gerade also einander vorbei, mein Fehler sorry.

Ich weiß, dass man aus Punkten kein Kreuzprodukt bildet. Wir reden gerade alle einander vorbei, habe meine Frage nochmal als Post gestellt.

Answer 2

k·N = [3, 0, -1] ⨯ [1, 0, 3] = -10·[0, 1, 0]

E: X·[0, 1, 0] = [3, -3, 3]·[0, 1, 0]

E: y = -3

Answer 3

Vektorielle Parameterform der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

a(3/-3/3)

x=/3/-3/3)+r*(3/0/-1)+s*(1/0/3)

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a kreuz b=c

hier (3/0/-1) kreuz (1/0/3)=(0/-10/0)  oder gekürzt n(0/-1/0)

Normalengleichung der Ebene

E: (x-a)*n=0

(x/y/z)-(3/-3/3))*(0/-1/0)=0

x*0+y*(-1)+z*0-(3*0-3*(-1)+3*0)=0

0*x-1*y+0*z+3=0

Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0

Answer 4

Hi,

ich bekomme y=-3 raus. geht das auch ?