Thema: Numerische Mathematik

Question

ich habe diese Aufgaben zu unseren neuen Thema Numerik bekommen und ich weiß gar nicht wie ich hier vor gehen muss?

Kann mir bitte jemand helfen und es mir anhand eines Rechnungsweges erklären? Ich verzweifle ugh

Aufgabe: 

Es wird das Integral betrachtet

I = \( \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}} \) sin (x) dx

1) Berechne I

2) Berechne einen Näherungswert für I, indem du den Integranden durch das entsprechende Taylorpolynom 3. Ordnung an der Stelle x0 = 0 ersetzen

3) Bestimme I näherungsweise mit Hilfe der numerischen Integration durch Anwendung der Trapezregel:

a) auf das gesamte Inegrationsintervall

b) auf die beiden Teilintervalle [ 0,\( \frac{π}{4} \) ], [\( \frac{π}{4} \), \( \frac{π}{2} \) ]

c) nach Teilung des Integrationsintervalls in 4 äquidistante Teilintervalled) nach Teilung des Integrationsintervalls in 8 äquidistante Teilintervalle

Answer 1

1. Eine Stammfunktion ist -cos(x), also

I = -cos(pi/2) - (-cos(0)) =  0+1 = 1

2. Taylorpolynom ist

     T(x)= f(0) + f ' (0)*x + f ''(0) / 2  * x^2  + f ' ' ' (0) / 6  * x^3

           =  0  +   1*x + 0/2 * x^2 + (-1) / 6 * x^3

            =    x   -  x^3 / 6

   Integral gibt dann 0,980031