Die Bestimmung einer Gleichung einer Funktion f, die die Geschwindigkeit in m/s nach s Sekunden angibt

Question

Hallo.
Ich werde zur Zeit, wie viele andere auch, Zuhause unterrichtet. Nun haben wir ein neues Thema in Mathe angefangen und zwar die Quotientenregel. Dazu soll ich eine Aufgabe bearbeiten, wobei ich allerdings ein paar Probleme habe. Irgendwie weiß ich nicht so recht wo ich anfangen soll, da ich nicht mal die Fragestellung so ganz verstehe. Ich bedanke mich schon mal im voraus für jede Hilfe!

Aufgabe: Auf einer Teststrecke kann die Geschwindigkeit v eines Testfahrzeuges in den ersten Sekunden mit der Funktion v(t) = 10t^2 * e^-0,25t ; t ∈ [0; 30] (t in s, v(t) in km/h), modelliert werden.
a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion f, die die Geschwindigkeit in m/s nach s Sekunden angibt.
b) Berechnen Sie, wann das Fahrzeug die maximale Geschwindigkeit hat. Wie groß war diese in m/s?

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion f, die die Geschwindigkeit in m/s nach s Sekunden angibt.

v(t) = 10·t^2·e^(- 0.25·t)

f(t) = 10/3.6·t^2·e^(- 0.25·t) = 25/9·t^2·e^(- 0.25·t)

b) Berechnen Sie, wann das Fahrzeug die maximale Geschwindigkeit hat. Wie groß war diese in m/s?

v'(x) = e^(- 0.25·t)·(20·t - 2.5·t^2) = 0 → t = 8 (∨ t = 0)

f(8) = 25/9·8^2·e^(- 0.25·8) = 24.06 m/s

Comments

Vielen, vielen herzlichen Dank! Ich konnte die Aufgabe mit der Hilfe endlich nachvollziehen.
Liebe Grüße

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Freut mich, wenn ich helfen konnte.

Answer 2

Und was hat deine Frage mit der Quotientenregel zu tun?

Bei a) HAST DU BEREITS eine Gleichung, die die erreichte Geschwindigkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt des gegebenen Intervalls ausrechnet. Einzige Aufgabe für dich: Die gegebene Gleichung berechnet die Geschwindigkeit in km/h; du sollst die Gleichung so anpassen, dass sie die Geschwindigkeit in m/s angibt.

Von dieser von dir zu findenden Funktion sollst du die Stelle t berechnen, wo diese Funktion einen Hochpunkt hat, und du sollst für diesen Zeitpunkt t den Funktionswert ausrechnen.

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Ich weiß es ja selbst nicht. Auf der vorherigen Seite wurde man ins Thema "Quotientenregel" eingeführt, weshalb dann auch (normalerweise) Aufgaben dazu folgen. Ich hab die Fragestellung nicht ganz nachvollziehen können, aber ich versuche es mal mit dem Tipp. Danke...

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Man könnte die Funktion

v(t) = 10·t^2·e^(- 0.25·t)

auch als Quotient schreiben

v(t) = 10·t^2 / e^(0.25·t)

Ich kenne allerdings keinen der das bei einer e-Funktion machen würde.

Trotzdem könntest du es mal machen und zeigen das mit der Quotientenregel das gleiche heraus kommt wie mit der Produktregel.

Answer 3

Hallo 1km/h=1000m/3600s=1/3,6m/s

 deshalb ist v(s)=10/3.6*t^2*e^(-0,25s)

jetzt nach der Produktregel ableiten um s bzw. t max zu bestimmen und dann v(s_(max)) berechnen

zur Kontrolle tmax=smax=8s

die Quotientenregel kommt nicht wirklich vor es sei denn du schreibst e^(-0,25s) als 1/e^0,25s was aber ungünstig ist.

Gruß lul

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Ich bedanke mich, dass hat mich etwas weitergebracht.
Liebe Grüße

Answer 4

Text erkannt:

\( v(t)=10 \cdot t^{2} \cdot e^{-0,25 t}=\frac{10 t^{2}}{e^{0,25 t}} \)
\( \frac{d v(t)}{d t}=\frac{20 t \cdot e^{0,25 t}-10 t^{2} \cdot 0,25 \cdot e^{0,25 t}}{\left(e^{0,25 t}\right)^{2}}=\frac{20 t-2,5 t^{2}}{e^{0,25 t}} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets