Bestimme den Real- und Imaginärteil von z, wenn z²=3-4i

Question

Gesucht ist der Real- und Imaginärteil von z, wenn z²=3-4i. Komme einfach nicht drauf,

 

Bin bei z²=(x-y)²+2ixy=3-4i. Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.

Answer 1

Das ist auch nicht so ganz richtig. Richtig wäre:

z² = x²-y² + 2ixy = 3-4i

Jetzt kannst du (weil x und y nach Definition reelle Zahlen sind) auf beiden Seiten der Gleichung Real- und Imaginärteil vergleichen. Du erhältst also zwei Gleichungen:

(I) x²-y² = 3

(II) 2xy = -4 

Aus (II) erhältst du xy = -2

Multipliziert man also (I) zweimal mit x erhält man:

x⁴ -(xy)² = 3x²

Setzt man die Information aus (II) ein, erhält man eine biquadratische Gleichung in x:
x⁴ - 3x² - 4 = 0

Die sich zunächst mit der pq-Formel vereinfacht zu:

x² = 3/2 ± √(9/4 + 4) = 3/2 ± 5/2

x² = -1

oder

x² = 4

Wie gesagt sind x und y nach Definition relle Zahlen, deswegen hat die erste Möglichkeit keine Lösungen.

Es gilt also

x = ±2

Damit folgt dann

y = -(±1)

y muss immer genau das andere Vorzeichen haben, als x.

Für die beiden möglichen Lösungen folgt damit:

z = ±(2-i)

Der Realteil ist also ±2 und der Imaginärteil ±1 mit dem entsprechend anderen Vorzeichen.

Comments

Daumen hoch

Der Ansatz ist z = (x + yi)

z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2 * i^2 = x^2 + 2xyi - y^2

Ausgerechnet wurde dann der Real und Imaginäranteil von z. Die Fragestellung ist hier aber unklar. Man könnte auch Denken es ist der Real und Imaginärteil von z^2 gefragt. Aber das wäre ja nur abzulesen.

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Achtung!!!

Z = ± (2 + i) 

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Nein.

z = -2 + i ∨ z = 2 - i

Julian Mi hat völlig richtig gerechnet.

Also wenn du schon verbessern möchtest dann rechne es selber vor und schreibe nicht nur ohne Begründung eine falsche Lösung hin.