was ist das Integral von (5x^8 +6x^6−4x^4−6x^2 ) / (x^6 +x^4 −x^2 −1)

Question

Hi!

Ich habe folgende Funktion f(x) = (5x⁸+6x⁶−4x⁴−6x² )/ (x⁶ +x⁴ −x² −1) und soll die Stammfunktion mithilfe von Partialbruchzerlegung angeben.

Zuerst habe ich eine Polynomdivision durchgeführt und hatte dann die Funktion f(x)= 5x² +1+ (1 / x⁶+ x^4 - x² -1 )

Der erste Teil ist ja ziemlich klar, deswegen jetzt zum hinteren Teil (also (1 / x⁶+ x^4 - x² -1 ) )

Ich habe zuerst versucht die Nullstellen vom Nenner  zu berechen, es müssen ja 6 sein weil die Funktion 6. Grades ist.

jetzt meine Frage, ich habe die ersten beiden Nullstellen raus (-1 und 1 ) - habe mir den Graphen von der Funktion x⁶+ x^4 - x² -1 Zeichen lassen-  , aber wie komme ich jetzt auf die reslichen Nullstellen?

Bei -1 und 1 handelt es sich ja auch nicht um doppelte Nullstellen, da die Nullstellen nicht in die Ableitung "mitgeschleppt" werden.

Ich bin mir bewusst, dass es sich um Komplexe Nullstellen handelt, aber wie kann ich diese berechnen?

ich habe auch schon versucht eine weitere Polynomdivision durchzuführen, also x6+ x^4 - x² -1 : (x-1) aber damit komme ich wieder auf eine Nullstelle bei -1 ...!?!

Meine frage ist jetzt wie mache ich weiter ???

Vielen Dank im Voraus

Comments

Hallo,

wenn Du \(z:=x^2\) substituierst, erhältst Du das Polynom \(z^3+z^2-z-1\) das zerlegt man:

$$z^3+z^2-z-1=(z-1)(z^2+2z+1)=(z-1)(z+1)^2$$

Für das Originalpolynom führt das zu

$$(x^2-1)(x^2+1)^2=(x-1)(x+1)(x^2+1)^2$$

Damit kannst Du jetzt die Partialbruchzerlegung durchführen.

Gruß

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1 / (x⁶+ x⁴ - x² - 1)    kannst du bei diesem Online-Rechner eingeben:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Dann wird dir die Partialbruchzerlegung des Terms mit Lösungsweg angegeben.

Die komplexen Nullstellen benötigt man dabei nicht.

Answer 1

(5·x^8 + 6·x^6 - 4·x^4 - 6·x^2)/(x^6 + x^4 - x^2 - 1)

Polynomdivison

= 5·x^2 + 1 + 1/(x^6 + x^4 - x^2 - 1)

Faktorisierung des Nenners

= 5·x^2 + 1 + 1/((x + 1)·(x - 1)·(x^2 + 1)^2)

Partialbruchzerlegung

= 5·x^2 + 1 - 0.5/(x^2 + 1)^2 - 0.25/(x^2 + 1) + 0.125/(x - 1) - 0.125/(x + 1)

Jetzt kann man eine Stammfunktion bilden