Exponentialform berechnen benötige Hilfe!

Question

Hallo, ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.

Gegeben habe ich eine komplexe Zahl z=r*e^(iφ) in Exponentialform

Ich soll z( z hat oben einen strich) mit einer geeigneten Form berechnen

und soll anschließend z-z(strich oben)/2i berechnen.

Ich weiß leider nicht wie genau ich das machen soll.

Kann mir jemand bitte helfen?

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Ich dachte dass man z vielleicht in die Normalform umwandeln könnte

Answer 1

Aloha :)

Du erhältst die "komplex konjugierte Zahl" \(\overline z\), indem du bei \(z\) das Vorzeichen vom Imaginärteil änderst:$$z=r\,e^{i\varphi}=r\,\left(\cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)\quad\Rightarrow\quad\overline z=r\,e^{-i\varphi}=r\,\left(\cos\varphi-i\,\sin\varphi\right)$$Damit kannst du nun den gewünschten Ausdruck berechnen:$$\frac{z-\overline z}{2i}=\frac{(r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi)-(r\cos\varphi-i\,r\sin\varphi)}{2i}$$$$\phantom{\frac{z-\overline z}{2i}}=\frac{r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi-r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi}{2i}$$$$\phantom{\frac{z-\overline z}{2i}}=\frac{2i\,r\sin\varphi}{2i}=r\,\sin\varphi$$

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danke! wieso steht aber in der ersten Gleichung oben die ganze zeit nur cos?

muss da nicht (r*cosφ+ir sinφ)-(r*cosφ-ir sin φ) stehen?

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Oha, mein Fehler, weil ich mich vertan habe.

So was passiert mir manchmal beim Kopieren und Einfügen.

Siehst du, du hast es verstanden und findest sogar Fehler bei mir ;)

Ich korrigiere das eben schnell.

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okay, gut danke :D

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und aus dem - wird im zweiten Schritt + weil - mal - plus ist oder?

Answer 2

z=r*e^(iφ)  = t* ( cos ( φ) + i * sin ( φ) )

==>  z_quer = t* ( cos ( φ) -  i * sin ( φ) )

( z -  z_quer ) / i

=  t * 2i * sin  ( φ)  / (2i)   =     t * sin  ( φ)

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Vielen dank für ihre Antwort. Eine frage habe ich aber noch die Formel der Polarform fängt doch mit einem r an wieso steht bei ihnen t? oder kann ich statt t auch einfach r nehmen?

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Vertippt !   Das r ist neben dem t, und dann habe ich immer kopiert !

r ist besser !

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Okay danke, mir ist noch was unklar. könnten sie den rechen weg von z-zquer/2i aufschreiben? Ich hab keine Idee wie ich aufs Ergebnis kommen könnte

Mfg Markus

Answer 3

Hallo

 $$z=x+iy, \bar z=x-iy $$ d.h. das konj komplexe z ist den gleichen Winkel under der x Achse wie das z über (oder umgekehrt) zeichne dir das für ein beliebiges z mal auf, mit

$$ z=r*e^{i\phi} \text{ gilt  } \bar z=r*e^{-i\phi}, $$ durch 2i teilen heisst mit -1/2*i multiplizieren

$$ -i=e^{-i\pi/2}  \text{ also  } \bar z/2i= r/2*e^{-i(\phi+\pi/2)} $$

z-zquer=2Im(z)=2y , 2y/2i=-iy

es lohnt sich am Anfang so was in der x-y Ebene uze Re-Im Ebene einzuzeichnen um mit den komplexen Zahlen vertraut zu werden

Gruß lul

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never mind hab das was noch kam nicht gesehen

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Ich hab ihre Rechnung nicht ganz verstanden wieso man mit -1/2* i multipliziert und den rest dann auch nicht

wenn ich z und zquer habe kann ich das ja so schreiben

r*e^iΦ- r*e^-iΦ / 2i was muss ich ab jetzt machen?

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Hallo

warum willst du das in der exponentialform machen, die ist bei Differenzen und Summen unpraktisch . wenn du es unbedingt willst schreib eben i auch in der Exponentialform, aber dann sieht man nicht, was das einfache Ergebnis ist.

Gruß lul

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Sie haben es doch auch so gemacht oder nicht. ich versteh bei ihrer Rechnung ab dem Punkt wo man mit -1/2*i multipliziert nicht.

z-zquer=2Im(z)=2y , 2y/2i=-iy was das heißt weiß ich auch nicht 

könnten sie das bitte noch mal erklären?

Mit freundlichen Grüßen Markus

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Hallo

zeichne z-zquer dann siehst du . dass 2 mal der Imaginärteil rauskommt, den hab ich wegen z=x+iy y genannt, du kannst auch einfach Im(z) schreiben, oder r*sin(phi)

wenn du dann durch 2i teilst hast du 2y/2i=y/i=-iy oder -irsin(phi) oder i*Im(z)

lul