1/z mithilfe der Polarform berechnen

Question

Ich soll 1/z berechnen

z=-1+i ich sollte als erstes die Polarform von z bestimmen und habe dafür √2 * (cos(135°)+isin(135°)

im Bogenmaß: √2 * (cos(3/4π)+isin(3/4π)

das habe ich raus uns soll nun

a) 1/z mit Hilfe der Polarform berechnen und

b)z²²

Bei 1 habe ich versucht  √2 * (cos(3/4π)+isin(3/4π) komplex konjugiert zu erweitern aber komme da nicht weiter. Ich soll im Bogenmaß rechnen.

und bei b) hab ich leider keine Ahnung

das Oberthema lautet Wurzel und Potenzen von komplexen Zahlen

Kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Hallo Markus,

mit 'Polarform' ist sicher die Form in Exponentialdarstellung gemeint - also $$\begin{aligned} z &= -1 + i \\ &= \sqrt 2 \left(\cos\left( \frac 34 \pi\right) + i \cdot \sin\left( \frac34 \right)\right) \\ &= \sqrt 2 \cdot e^{i\frac 34 \pi} \end{aligned}$$dann wird \(1/z\) zu$$\begin{aligned} \frac 1z &= \frac{1}{-1 + i} \\ &= \frac 1{\sqrt 2 \cdot e^{i\frac 34 \pi}} \\ &= \frac 1{\sqrt 2} e^{-i\frac 34 \pi} \\ &= \frac 12 \sqrt 2 \cdot e^{-i\frac 34 \pi} \end{aligned}$$Jetzt sollte \(z^{22}\) auch kein Problem mehr sein - oder? Tipp: \(2^{11} = 2048\)

Comments

Danke für Ihre Antwort.

Was haben sie im 3 und 4 schritt gemacht? komplex konjugiert erweitert?

Mit freundlichen Grüßen

Markus

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Was haben sie im 3 und 4 schritt gemacht? komplex konjugiert erweitert?

Nein - eben genau nicht.

Du weißt sicher, dass $$\frac 1{a^b} = a^{-b}$$ist, somit ist $$\frac 1{e^{i \frac 34\pi}} = e^{-i \frac 34 \pi}$$und $$\frac 1{\sqrt 2}$$ habe ich schlicht mit \(\sqrt 2\) erweitert.

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schau Dir mal das Applet in dieser Antwort an. Bringe dort den Punkt \(Z\) in die Position \(z=-1+i\). Dann siehst Du, was aus \(1/z\) wird.

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Die Polarform nennt sich manchmal auch goniometrische Form und ist sicher nicht die Exponentialdarstellung.

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Die Polarform nennt sich manchmal auch goniometrische Form und ist sicher nicht die Exponentialdarstellung.

.. ist auch wurscht! Auf jeden Fall lassen sich mit der Form \(e^{i \dots}\) die Aufgaben von Markus gut lösen.

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Vielen war hilfreich

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aber wie man z²² 

berechnet weiß ich leider immer noch nicht

Mit freundlichen Grüßen

Markus

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aber wie man z²² berechnet weiß ich leider immer noch nicht

Mit den Potenzgesetzen. Es gilt $$\left( a^b\right)^{22} = a^{22b}$$bzw. $$\left( \sqrt 2 \cdot e^{i \frac 34 \pi} \right)^{22} = 2^{\frac 12 \cdot 22} \cdot e^{i \frac{33}2 \pi } = 2^{11} \cdot e^{i \frac 12 \pi}$$Bem.: \(e^{2i\pi} = 1\)

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Wie kommt man auf 33/2 und 2^1/2*22 ?

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ahh ich √2 ist ja 2^1/2 deswegen

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beides hat sich geklärt!