Steckbriefaufgabe Parabel 4. Ordnung

Question

Eine Parabel vierter Ordnung geht durch die Punkte P(-1/9) und Q(1/1) und berührt die x-Achse an der Stelle x3=2. Q ist ein relatives Extremum.

Ich habe das gleichungssystem  so aufgestellt:

P(-1|9) Q(1|1)  N (2|0)

1)  9=a-b+c-d+e

2)  1=a+b+c+d+e

3)  0=16a+8b+4c+2d+e

4)  0=4a+3b+2c+d

5)  0=32a+12b+4c+d

Ich bin mir nicht sicher wie man das Gleichungssystem ausrechnet. Da bleiben bei mir immer 2 variablen übrig.

Comments

Hallo, bilde für das relative Minimum doch mal die ableiteungen der allgemeinen Funktion.

Answer 1

Deine Gleichungen sind richtig.

Wir haben also

1 -1 1 -1 1 0

1 1 1 1 1 1

4 3 2 1 0 0

16 8 4 2 1 0

32 12 4 1 0

Mit dem Gauss-Verfahren könntest du so rechnen:

1. Gleichung mit -1 multiplizieren und zur 2. addieren

1. Gleichung mit -4 multiplzieren und zur 3. addieren

1. Gleichung mit -16 multiplizieren und zur 4. addieren

1. Gleichung mit -32 multiplizieren und zur 5. addieren

Dann erhältst du:

1 -1 1 -1 1 9

0 2 0 2 0 -8

0 7 -2 5 -4 -36

0 24 -12 18 -15 -144

0 44 -28 33 -32 -288

Jetzt immer die 2. Gleichung multiplizieren:

mit -\( \frac{2}{7} \) und zur 3. addieren

mit -12 und zur 4. addieren

mit -22 und zur 5. addieren

1 -1 1 -1 1 9

0 2 0 2 0 -8

0 0 -2 -2 -4 -8

0 0 -12 -6 -15 -48

0 0 -28 -11 -32 -112

jetzt die 3. Gleichung multiplizieren mit

-6 und zur 4. addieren

-14 und zur 5. addieren

1 -1 1 -1 1 9
0 2 0 2 0 -8
0 0 -2 -2 -4 -8
0 0 0 6 9 0
0 0 0 17 24 0

Jetzt noch die 4. Gleichung mit - \( \frac{17}{6} \) multiplizieren und zur 5. addieren:

1 -1 1 -1 1 9
0 2 0 2 0 -8
0 0 -2 -2 -4 -8
0 0 0 6 9 0
0 0 0 0 -3/2 0

Jetzt rückwärts einsetzen und du erhältst

$$f(x) = x^4-4x^3+4x^2$$

Answer 2

1)-2)=6)

3)-2)=7)

Dann ist e raus und es sind noch 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten 4),5),6),7).

Eliminiere jetzt d aus diesem System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten

Dann hast du ein System von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Eliminiere die nächste Unbekannte, dann hast du ein System von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Comments

1)-2) 8=-2b-2d

3)-2) -1=15a+7b+3c+1d

4)  0=4a+3b+2c+d

5)  0=32a+12b+4c+d

3)-2) - 1)-2) dividiert durch -2

4) - 1)-2) dividiert durch -2

5) -1)-2) dividiert durch -2

Am ende kommt bei mir etwas ganz anderes raus als in den lösungen.

Answer 3

Aloha :)

Der Berührpunkt \((2|0)\) ist eine sehr wertvolle Information. Die Parabel muss dann nämlich bei \(x=2\) eine doppelte Nullstelle haben, das heißt sie muss den Faktor \((x-2)^2\) enthalten. Wir können daher folgenden Ansatz wählen:$$f(x)=(ax^2+bx+c)(x-2)^2$$Wir brauchen noch die erste Ableitung, um das relative Extremum bei \(x=1\) berücksichtigen zu können:$$f'(x)=(2ax+b)(x-2)^2+2(ax^2+bx+c)(x-2)$$$$0\stackrel{!}{=}f'(1)=(2a+b)-2(a+b+c)=-b-2c\quad\Rightarrow\quad b=-2c$$

Jetzt setzen wir noch die beiden Punkte \((-1|9)\) und \((1|1)\) in die Funktionsgleichung ein:$$f(x)=(ax^2-2cx+c)(x-2)^2$$$$1=f(1)=(a-2c+c)(-1)^2=a-c\quad\Rightarrow\quad a-c=1$$$$9=f(-1)=(a+2c+c)(-3)^2=9(a+3c)\quad\Rightarrow\quad a+3c=1$$Das entstandene Gleichungssystem löst man im Kopf, \(c=0\;;\;a=1\), und erhält:$$f(x)=x^2(x-2)^2$$

~plot~ x^2(x-2)^2 ; {2|0} ; {1|1} ; {-1|9} ; [[-2|3|-1|10]] ~plot~