Integrieren mittels Substitution

Question

Aufgabe:

\( \int \) x *\( \sqrt{1+x^2} dx\)  durch Substitution x = sinh(u)

stecke hier bei einer Aufgabe fest, habe diese Aufgabe soweit vereinfacht \( \int sin(u) * cos(u)^2 \)
Ab diesen Schritt weiß ich nicht weiter. Wie substituiere ich nach dem Integrieren zurück, also was müsste ich dann für u zum Schluss einsetzen?

Comments

Warum nicht durch \( u = x^2 + 1 \)?  

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Wie kommen Sie auf das?

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Deine Lösung ist falsch.

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durch Substitution x = sinh(u)

Du kennst den Unterschied zwischen sin und sinh?

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ja, sorry war ein Tippfehler, soll natürlich sinh und cosh in der Angabe heißen

Answer 1

Aloha :)

In der kurzen Version würde ich das Integral so hinschreiben:$$\int\! x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\!\int\!\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2}}\,2xdx=\frac{1}{2}\!\int\!\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2}}\,d(x^2)=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\!+\!c$$

In der langen Version mit der geforderten Substitution macht das weniger Spaß:$$x=\sinh(u)\quad\Rightarrow\quad\frac{dx}{du}=\cosh(u)\quad\Rightarrow\quad dx=\cosh(u)\,du$$Damit wird das Integral zu:$$I=\int \sinh(u)\sqrt{1+\sinh^2(u)}\cosh(u)\,du=\int\sinh(u)\cosh^2(u)\,du$$Bis hierhin bist du ja gekommen. Substituiere nun erneut:$$v=\cosh(u)\quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{du}=\sinh(u)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{dv}{\sinh(u)}$$Dann geht es weiter:$$I=\int\sinh(u)\,v^2\frac{dv}{\sinh(u)}=\int v^2\,dv=\frac{1}{3}v^3+c$$Jetzt kannst du die Substitutionen rückgängig machen:$$v=\cosh(u)=\sqrt{1+\sinh^2(u)}=\sqrt{1+x^2}$$Schließlich erhalten wir:$$I=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+c=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}+c$$

Answer 2

Hallo,

Wenn Du diese Substitution  anwenden mußt:

x= sinh(u)

dx/du= cosh(u)

dx= cosh(u) du

=∫ sinh(u) √ (1 +sin^2(u)) du --> 1 +sin^2(u) =cosh^2(x)

=∫ sinh(u) cosh^2(u) du

v= cosh(u)

dv/du= sinh(u)

du= dv/sinh(u)

eingesetzt:

=∫ v^2 dv =v^3/3 +C usw.

->einfacher:

z=x^2 +1

PS: Lasse Dich nicht beeinflussen , diese Substitution ist  überhaupt nicht ungeschickt.

Comments

da stecke ich ja fest. Was soll ich für u einsetzen nach dem Integrieren? Wie man integriert weiß ich, aber die Rücksubsitution ist bei dem Beispiel unklar

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Deine Lösung ist falsch.

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Die Lösung von "Grosserloewe" ist immer noch falsch.

Answer 3

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫(f(z)/dz*1/z´)

F(x)=∫(x*(1+x²)^(1/2)*dx  Substitution z=1+x² abgeleitet z´=dz/dx=2*x →dx=dz/(2*x)

F(x)=∫x/(2*x)*z^(0,5)*dz=1/2*z^(0,5+1)*1/(0,5+1)+C=1/(2*1,5)*(1+x²)^(3/2)+C

F(x)=1/3*Wurzel(1+x²)³)+C

Hinweis:Die Integration durch Substitutio funktioniert nur,wenn z´=dz/dx=konstant (Konstante können vor das Integralzeichen gezogen werden) oder wenn sich das übriggebliebene x aufhebt.

Answer 4

(1) Mit der Subst. \( x = \sinh(u) \) kommst Du auf \( \sinh(u)\cosh(u)^2 \) Nun musst Du nochmals mit \( t=\cosh(u) \) substituieren. (Du kannst auch beide Substitutionen zu einer zusammenfassen.)

(2) Die mehrmals vorgeschlagene Subst. \( 1+x^2 \) ist ungeschickt.

(3) Am sinnvollsten ist die Subst. \(  t = \sqrt{1+x^2} \).

(4) Die Zusammenfassung beider Subst. in (1) entspricht genau der Subst. in (3) (nachrechnen!).