Integral bestimmen via Partialbruchzerlegung

Question

Hallo, ich habe ein bestimmtes Integral und soll es berechnen. 
1) \( \int\limits_{10}^{\infty} \) \( \frac{6x+3}{ (x-2) (x+1)^2} \) dx

Jetzt sollen laut der Musterlösung die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung bestimmt werden. Dies sieht wie folgt aus:
2) \( \frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2} \)  = \( \frac{A}{x-2} \) + \( \frac{B}{x+1} \) + \( \frac{C}{(x+1)^2} \)

An diesem Schritt 2 oben, verstehe ich nicht wie man die Gleichung zerlegt hat.  Warum bleibt (x+1)^2 noch weiter stehen?

3) Beide Seiten werden multipliziert.
6x+3 = A(x+1)^2 + B(x-2)(x+1) + C(x-2) 

An Schritt 3 verstehe ich nicht wieso die Brüche so aufgestellt werden? In der Vorlesung wurde mit uns nur ein Bsp. durchgenommen wo wir zwei Brüche hatten, und dann "Zähler A * Nenner B" + "Zähler B * Nenner A. Ich finde nirgendwo heraus wie man das bei drei oder mehr Brüchen macht.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

Aloha :)

Die Regel geht eigentlich etwas anders. Bei der Partialbruchzerlegung setzt man das Zählerpolynom einen Grad niedriger an als das Nennerpolynom, dann kann man sicher sein, dass am Ende alles aufgeht:$$\frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{(x+1)^2}$$

"Im Kopf" multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit \((x-2)\)$$\frac{6x+3}{(x+1)^2}=A+\frac{Bx+C}{(x+1)^2}\cdot(x-2)$$und erhältst \(A\) sofort durch Einsetzen von \(x=2\): \(\quad A=\frac{6\cdot2+3}{(2+1)^2}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}\)

"Im Kopf" multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit \((x+1)^2\)$$\frac{6x+3}{x-2}=\frac{A}{x-2}(x+1)^2+(Bx+C)$$und erhältst durch Einsetzen von \(x=-1\):$$\frac{6\cdot(-1)+3}{(-1)-2}=B\cdot(-1)+C\quad\Rightarrow\quad1=-B+C$$Setzen wir also \(A=\frac{5}{3}\) und \(C=B+1\) in unsere Zerlegung ein:$$\frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2}=\frac{5}{3(x-2)}+\frac{Bx+B+1}{(x+1)^2}=\frac{5}{3(x-2)}+\frac{B}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}$$Weil sich die Zerlegung immer so aufteilt, findet man diesen Ansatz rechts manchmal in Büchern oder in Vorlesungen. Jetzt fehlt nur noch \(B\). Dafür setzen wir einen möglichst einfachen Wert ein, etwa \(x=0\):$$-\frac{3}{2}=-\frac{5}{6}+B+1\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{5}{3}$$

Also lautet die Zerlegung:$$\frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2}=\frac{5}{3(x-2)}-\frac{5}{3(x+1)}+\frac{1}{(x+1)^2}$$

Comments

Danke sehr! Deinen Ansatz finde ich sehr gut! Aber kannst du mir nochmal einen kleinen Tipp geben, wieso Du A und Bx+C nimmst? Also ich habe halt bei diesem Ansatz, wie er in der Musterlösung nicht ganz verstanden wie man auf die drei Koeffizienten kommt. Da sich mir nicht erschloss, wieso (x+1) & (x+1)^2 beides genommen wird. Du nimmst nur die in der Funktion vorhanden und kommst auf das gleiche Ergebnis... Wie kann ich mir das Vorstellen mit den Großbuchstaben A, B und C? 

Ich komme so unglaublich dumm vor, dass ich das nicht raffe :-(

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Das liegt überhaupt nicht an dir. Die Partialbruchzerlegung wird in vielen Büchern unterschiedlich und im Internet oft chaotisch erklärt. Ich versuche mal das Prinzip an einem Beispiel genauer zu erklären:$$f(x)=\frac{4x^3+2x^2-7}{(x+1)^2(x-1)(x^2+x+1)}$$Du teilst die Faktoren des Nenners auf und schreibst sie als Summanden:$$f(x)=\frac{\dots}{(x+1)^2}+\frac{\dots}{x-1}+\frac{\dots}{x^2+x+1}$$Jetzt schaust du dir den Grad der Nennerpolynome an:$$(x+1)^2=x^2+2x+1\quad\Rightarrow\quad\text{Grad }2$$$$x-1\;\;\qquad\qquad\qquad\qquad\Rightarrow\quad\text{Grad }1$$$$x^2+x+1\;\qquad\qquad\qquad\Rightarrow\quad\text{Grad }2$$In die jeweiligen Zähler schreibst du jetzt jeweils ein Polynom, das um enen Grad niedriger ist:$$\text{Nenner: }\quad(x+1)^2\;\quad\leadsto\quad\text{Zähler: }\quad Ax+B$$$$\text{Nenner: }\,\quad x-1\;\quad\quad\leadsto\quad\text{Zähler: }\quad C$$$$\text{Nenner: }\quad x^2+x+1\;\leadsto\quad\text{Zähler: }\quad Dx+E$$Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet also:$$f(x)=\frac{Ax+B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{Dx+E}{x^2+x+1}$$

In der Methode, die ihr im Unterricht gelernt habt, schreibt man in die Zähler immer nur eine Konstante, also ein Polynom \(0\)-ter Ordnung. Ich habe hier angesetzt:$$\frac{Ax+B}{(x+1)^2}$$Nach eurer Methode müsste man ansetzen:$$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}$$In beiden Fällen kommen zwei Konstanten \(A\) und \(B\) ins Spiel. Aber ich komme mit einem Term weniger aus. Auch wird es bei eurer Methode schwierig, den Nenner \((x^2+x+1)\) zu verarbeiten. Da kommt man nämlich nicht um ein Polynom 1-ter Ordnung im Zähler drumherum.

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WOW! Super! Vielen Dank! Das ist ja klasse erklärt! Hab vielen lieben Dank für deine Mühe und Geduld! Das ist wirklich Gold wert, diese Erklärung!
Hast du mal Überlegt ein Buch zu schreiben? Du hättest es echt drauf ;-) 

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Vielen Dank! Schön, dass du es verstanden hast, dafür machen wir das hier im Forum. Nur eins noch: "Wenn Sie mit unserem Service zufrieden waren, würden wir uns über eine positive Bewertung sehr freuen." ;)

Answer 2

(1) Du zerlegst den Nenner. (Das ist hier schon gemacht.)

In der Schule wirst Du darauf dressiert, die Zerlegung so weit wie möglich zu machen, in vielen Fällen ist das jedoch nicht sinnvoll.

(2) Für jeden Faktor (...)^n musst Du Brüche bilden von (...)^1 bis (...)^n.

(3) Dann wird die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert und bei jedem einzelnen Bruch entsprechend gekürzt.

(4) Dann fasst Du alle Terme nach Potenzen von x zusammen und machst einen Korffizientenvergleich.

Comments

hm... also danke für das Gerüst, aber leider hilft mir das noch nicht weiter. Wieso werden in Schritt 2, drei Brüche gemacht und nicht nur zwei? Warum nicht einfach "(x-2) und (x+1)^2" warum kommt noch der Bruch ohne Exponent dazu? Also ich glaube es hapert Grundlegend an der Zerlegung. Wieso kann ich drei neue Brüche Bilden?

Und Ganz besonders um zu schritt drei zu kommen, das hat für mich irgendwie gar kein Konzept...

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Regel (2): Aus dem Faktor \( (x+1)^2 \) wird \( {B\over (x+1)^1}+{C \over (x+1)^2} \).

Regel (3): Aus \( links = rechts \) wird \( (links)*HN = (rechts)*HN \).

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchlden bekommt

Kapitel,Integralrechnung,partialbruchzerlegung

(x+1)²=x²+2*x+1  x1,2=-2/2+/-Wurzel((2/2)²-1)=-1+/-Wurzel(1-1)=-1+/-0

also doppelte Nullstelle bei x=-1

Ist in Mathe-Formelbuch der Fall 2:

f(x)/g(x)=A1/(x-x1)^(a)+A2/(x-x1)^(a-1)+...Aa/(/(x-x1)+B1/(x-x2)^(b)+B2/(x-x2)^(b-1)+...Bb/(x-x2)

hier sind x1 und x2 die Nullstellen,die mehrfach vorkomme

Die Koeffizienten A1,A2 und A3 nach der Methode des Koeffizientenvergleichs

Beispiel aus meinem Mathe-Formelbuch

Integral((3*x³+10*x²-x)/(x²-1)²

(x2-1)²=0  x1=x2=1 und x3=x4=-1

(3*x³+10*x²-x)/(x²-1)=A1/(x-1)²+A2/(x-1)+B1/(x+1)²+B2/(x+1)

..=A1*(x+1)²+A2*(x+1)²*(x-1)+B1*(x-1)²+B2*(x-1)²*(x+1))/(x-1)²*(x+1)²)

..=(A2+B2)*x³+(A1+A2+B1-B2)*x²+(2*A1-A2-2*B1-B2)*x)/(x-1)²*(x+1)²) +(A1-A2+B1+B2)/((x-1)²*(x+1)²)

Koeffizientenvergleich

1) A2+B2=3

2) A1+A2+B1-B2=10

3) 2*A1-A2-2*B1-B2=-1

4) A1-A2+B1+B2=0

Integral(...)=3*∫dx/(x-1)²+4*∫dx/(x-1)+2*∫dx/(x+1)²-1*∫dx/(x+1)

Integral(...)=-3/(x-1)+4*ln|x-1|-2/((x+1)-ln|x+1|+C

Prüfe auf Tippfehler

Answer 4

Meine Rechnung:

$$ \int \frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2} \, dx$$

Faktor 3 herausziehen:

$$  = 3\int \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)^2} \, dx $$

Ansatz Partialbruchzerlegung (x-2) kommt einmal vor und (x+1)^2 liegt doppelt vor (doppelte NS):

$$ \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-2}$$

Hauptnenner bilden:

$$ \frac{A(x^2-x-2) + B(x-2) + C(x^2+2x+1)}{x^3-3x-2} $$

Nach Größe x^n sortieren:

$$ \frac{(A+C)x^2 + (-A+B+2C)x + (-2A-2B+C)}{x^3-3x-2}$$

LGS Ansatz (Koeffizienten Vergleich):

$$A + C = 0$$
$$-A+B+2C = 2$$
$$-2A-2B+C=1$$

$$ A = \frac{-5}{9}$$
$$ B = \frac{1}{3} $$
$$  C = \frac{5}{9} $$

Mit Vorfaktor 3 verrechnen:

$$A = \frac{-5}{9} \cdot 3 = \frac{-5}{3} $$
$$ B = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 $$
$$ C = \frac{5}{9} \cdot 3 = \frac{5}{3} $$

Werte in Ansatz einsetzen:

$$ \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-2}$$

Somit:

$$ \frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2} = \frac{\frac{-5}{3}}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{\frac{5}{3}}{x-2}$$

Jetzt muss das nur noch integriert werden:

$$ \int \frac{6x+3}{(x-2)(x+1)^2} = \int \frac{\frac{-5}{3}}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{\frac{5}{3}}{x-2} dx$$