Frage zum Verständnis, der Aufgabe über die (Orthogonale-)Projektion und der Invarianz.

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 4(3+6 \text { Punkte }) \) Sei \( (V,\langle\cdot, \cdot\rangle) \) ein endlichdimensionaler Skalarproduktraum und sei \( U \) ein Unterraum von
\( V . \) Wir bezeichnen durch \( P_{Z} \) die orthogonale Projektion auf den Unterraum \( Z \) von \( V \)
(a) Zeigen Sie, dass \( P_{U \perp}=\mathrm{id}_{V}-P_{U} \)

(b) Sei \( T \in \operatorname{End}(V) \)
(i) Zeigen Sie, dass \( U \) genau dann \( T \) -invariant ist, wenn \( P_{U} \circ T \circ P_{U}=T \circ P_{U} \)
(ii) Zeigen Sie, dass beide \( U \) und \( U^{\perp} \) genau dann \( T \) -invariant sind, wenn \( P_{U} \circ T= \) \( T \circ P_{U} \)

Frage/Ansatz:

Ich habe nur die frage, was P_Z hier in dieser Aufgabe tun stollte ? Mein Skript lässt mich nicht die Projektion als konzept verstehen, ich hätte gerne nur etwas Starthilfe anstatt eine komplette Lösung.

Comments

Hallo,

Du musst für die Lösung mit der Definition aus Eurer Vorlesung arbeiten. Aber da sollte wohl so etwas stehen wie: \(P_Z x:=z\), wobei \(x=z+v\) mit \( z \in Z\) und \(v \perp Z\). Das heißt, \(x \in X\) wird in 2 Summanden zerlegt, einer liegt im Unterraum \(Z\) und der andere ist senkrecht zu \(Z\). \(P_Zx\) ist die Komponente in \(Z\).

Vielleicht machst Du Dir mal eine Skizze im \( \mathbb{R}^2\), wo eine Unterraum eine Gerade durch den Nullpunkt ist.

Gruß

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Nun ist meine Frage, was Pz mit meinem Unterraum U zu tun hat. Ich habe die Skizze gemacht und finder gerade irgendwie nichts raus.

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Hallo,

" was Pz mit meinem Unterraum U zu tun hat"

Der Aufgabensteller oder die Aufgabenstellerin hat allgemein erklärt, was die Notation \(P_Z\) für einen beliebigen Unterraum bedeutet und dann diese Notation für \(Z=U\) und \(Z=U^{\perp}\) verwendet.

Der Beweis für a) ist mit dieser Erklärung der Projektion praktisch erbracht. Frage wäre also zunächst, wie Ihr "Projektion" definiert habt, damit man daran die genaue Formulierung anschließen kann.

Gruß

Answer 1

Hallo

 Projektion: bedeutet verallgemeinert, genau das, was du dir in 3d vorstellst: z.B, Projektion auf die z=0 Ebene, Paralleles Licht scheint senkrecht auf die ebene. alle Gegenstände#nde werden zu 2d Objekten (Schatten) auf der Ebene. Es muss ja nicht die z=0 ebene sein, du kannst auf jede Ebene durch 0 so projizieren. entsprechend im R^n alles wird in einen niedriger dimensionalen Unterraum abgebildet, Orthogonal heisst dass du dir im R^3 die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Ebene (oder Geraden) vorstellst.

lul

Comments

Leider hab ich trotz der tollen beschreibung immer noch keinen blassen schimmer wie ich das Beweisen sollte. Ich hoffe auf etwas mehr Hilfe.