Zu 1 Nimm den Ring ℤ. Ideale sind z.B. die Menge V2 aller Vielfachen von 2
und die Menge V3 aller Vielfachen von 3.
Deren Vereinigung enthält die 2 und die 3 aber nicht die Summe 5, ist also kein Ideal.
2. V3 - V2 = { 3 ; 9 ; 15 ; … }
Enthält aber nicht die 12.
3. Das 3. ist ein Ideal , denn es ist 0 ∈ I:J weil für jedes Ideal J gilt 0*J = {0}
und das ist eine Teilmenge von I, weil jedes Ideal die 0 enthält.
Sind x und y aus I:J dann gilt : x*J⊆I und y*J⊆I
Für alle z ∈ (x+y)*J gibt es ein j ∈ J mit z = (x+y)*j = x*j + y*j
Da beide Summanden in I sind, ist auch die Summe in I, denn
I ist ein Ideal.
Ist nun x∈ I:J und r∈R. Dann ist (´zu prüfen, ob auch r*x ∈ I:J gilt.
Das bedeutet: (r*x)*J ⊆I . Zu jedem Element z in (r*x)*J existiert
ein j ∈ J mit z= (r*x)*j = r*(x*j)
Nun ist aber x*j in I , weil x∈ I:J
und r mal ein Element von I ist wieder in I, weil I ein Ideal ist.
