1.) Wenn a und orthogonal zueinander sind, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.
$$<a,b> = <2v_2 - v_3, v_1 + v_2 + v_3> = <2v_2, v_1> + <2v_2, v_2> + $$
$$<2v_2, v_3> + <-v_3, v_1> + <-v_3, v_2> + <-v_3, v_3>$$
Da es eine orthonormierte Basis ist, stehen v1 und v2, v3 und v2 usw. alle orthogonal aufeinander, d.h. deren Skalarprodukt ergibt 0. Also
$$= 0 + <2v_2, v_2> + 0 + 0 + 0 + <-v_3, v_3>$$
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber ergibt seine Länge zum Quadrat, also $$<a,a> = ||a||^2$$
Damit folgt
$$= <2v_2, v_2> + <-v_3, v_3> = 2<v_2, v_2> - <v_3, v_3> = 2 ||v_2||^2 - ||v_3||^2$$
Da es eine orthonormierte Basis ist, beträgt die Länge jedes Basisvektors 1, also
$$ = 2 \cdot 1^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$
Das Skalarprodukt von a und b ergibt nicht 0, woraus folgt, dass a und b nicht orthogonal zueinander sind.
2.) Es ist ja nicht angegeben, welche Orientierungen v1 und v3 haben und auch nichts über die Orientierung der anderen Basisvektoren bekannt, daher kann man nicht sagen, ob [v1, v3] = v2 oder [v1, v3] = -v2.
