Funktionen gleich oder nicht?

Question

Aufgabe:

 Gegeben seien \( f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=1+\frac{1}{x} \) und \( g: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x)=\left(\frac{x}{1+x}\right)^{-1} \)
sind \( f \) und \( g \) als Funktionen gleich? Begründen Sie genau.

Kann mir jemand hier bitte das Vorgehen schildern? :)

Comments

Kennst du die Bedeutung von "hoch minus eins",

und kannst du einen Bruch der Form

\( \frac{a-b}{c} \)  als Differenz von zwei Brüchen schreiben

und kannst du einen Bruch der Form

\( \frac{a}{a} \) kürzen?

Wenn du dreimal mit "ja" antwortest, brauchst du unsere Hilfe nicht.

Wenn ein "nein" dabei ist, dann frage bitte nur zu "nein" und nicht zur Gesamtaufgabe nach.

Answer 1

Die Definitions- und Zielmengen sind jedenfalls gleich.

Außerdem gilt ( x / (1+x) ) ^(-1) = (1+x) / x = 1/x + x/x = 1/x + 1 = 1 + 1/x

also gilt auch f(x) = g(x) .

==>  Die Funktionen sind gleich.

Answer 2

g(x)=(x/(1+x)^(-1)=1/(x/(1+x))=(1+x)/x=x/x*(1/x+1)

g(x)=1/x+1=1+1/x

Potenzgesetz a^(-n)=1/a^(n)  oder 1/a^(-n)=a^(n)