Äquivalenzrelation auf der Menge M

Question

Aufgabe:

Auf \( M=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\} \) sei folgende Relation \( R \) gegeben: $$ (x, y) \in R \Leftrightarrow x^{2}=y^{2} $$

a) Zeigen Sie, dass \( R \) eine Äquivalenzrelation auf M ist.

b) Geben Sie die Klasseneinteilung von \( M \) durch \( R \) an.

Wie kann ich zeigen, dass die Relation eine Äquivalenzrelation auf M ist? Reicht es aus, ein Beispiel zu nennen, um die Transivität, Symmetrie und Reflexivität zu zeigen? Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch .. Die Zahlen verwirren mich irgendwie.

Comments

Reicht es aus, ein Beispiel zu nennen, um die Transivität, Symmetrie und Reflexivität zu zeigen?

Nein, du solltest das schon explizit zeigen.

z.B. Reflexivität: Sei \( x \in M \), dann gilt \( x^2 = x^2 \) also \( x \sim x \) bzw. \( (x,x) \in R \).

Versuche mal ob du so auch die Symmetrie und Transitivität selbst zeigen kannst.

---

Also beispielsweise bei der Symmetrie:

x,y ∈ M, dann gilt x² = y² ⇒ y² = x² also x² ∼ y² ⇒ y² ∼ x²

Ne, oder? Wäre jetzt irgendwie zu einfach gewesen

---

Fast gut ;) Bei der Symmetrie musst du zeigen, dass für alle x,y in M gilt:

Wenn x ~ y bzw. (x,y) ∈ R, dann y ~ x bzw. (y,x) ∈ R.

Seien also x, y in M mit (x,y) ∈ R, dann gilt nach Definition \( x^2 = y^2 \) und wie du richtig gefolgert hast somit auch \( y^2 = x^2 \), d.h. \( (y,x) \in R \)

x^2 ∼ y^2 ⇒ y^2 ∼ x^2

Ist von der Notation her falsch. Du könntest schreiben x ~ y ⇒ y ~ x.

---

Und für die Transivität gilt dann folgenden:

Seien also x, y ∈ M mit (x,y) ∈ R, dann gilt nach Definition ²=² und y² = z² ⇒ x² = z² also heißt das x ∼ y und y ∼ z ⇒  x ∼ z ?

und damit wäre die Aufgabe a) erledigt? 

---

Seien also x, y ∈ M mit (x,y) ∈ R,

Und wo kommt dann das z her? Der Rest ist gut.

Ja Aufgabe a) ist dann erledigt.

Für Aufgabe b) In einer Äquivalenzklasse liegen jetzt alle Elemente von M die quadriert dasselbe ergeben. Wie sehen die Äquivalenzklassen also aus?

---

Ach also x,y und z ∈ M mit (x,y,z) ∈ R :)

Super danke!

---

mit (x,y,z) ∈ R

Nein! du willst das x ~ y und y ~ z, in R sind nur 2-Tupel enthalten. Besser: "mit (x,y) ∈ R und (y,z) ∈ R"

Answer 1

Hallo,

diese Äquivalenzrelation "erbt" die Eigenschaften Transitivität, Reflexivität und Symmetrie vom Gleichheitszeichen.

Der interessantere Teil ergibt sich aus der Frage nach den Äquivalenzklassen: Diese sind \( \{0\} \) und \( \{ -a, a \} \) für \( a = 1, 2, 3, \dots \).

Grüße

Mister

Comments

Kannst du mir das mit den Restklassen noch einmal genauer erklären?

Ich kam nämlich zum folgenden Schluss:

(x) := (y ∈ M I y  ~ x)

Habe leider keine eckigen oder "welligen" Klammern. Deswegen nicht wundern.

---

Dein Schluss ist nicht falsch, er entspricht der Definition von Äquivalenzklasse: \( K_x = \{ y \in M : y \sim x \} \).

Hier findest du Erklärungen zu "LaTeX", das praktisch ist, um mathematische Formeln zu schreiben: https://www.matheretter.de/rechner/latex .