Sei A eine nxn Matrix für die die Gleichung A^2=2A-E gilt. Zeige, dass 1 der einzige Eigenwert ist.

Question

ich stelle hier nochmal meine Frage und zwar weiß ich nicht so richtig wie ich den Beweis anfangen soll.

Es sei A∈MC(n×n) eine Matrix, die die Gleichung A^2= 2A−E erfüllt, wobei E die Einheitsmatrix ist. Zeigen Sie, dass A den Eigenwert 1 hat, und dass 1 der einzige Eigenwert von A ist. Folgern Sie daraus : Ist A diagonalisierbar, so gilt A=E

Lieben Gruß und danke im voraus

Answer 1

Hallo,

lässt man den Ausdruck \( A^2 - 2A + E = 0 \) auf einen Eigenvektor wirken, so erhält man \( \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \) für den entsprechenden Eigenwert. Es ist \( \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2 \), es ist also \( \lambda = 1 \).

Ist \( A \) diagonalisierbar, so findet man \( S \) mit \( D = S^{-1} A S \). Wegen \( \lambda = 1 \) für alle Eigenwerte \( \lambda \) ist \( D = E \) und schließlich \( A = S E S^{-1} = S S^{-1} = E \).

Grüße

Mister

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Vielen Dank !