Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion mit Potenzen

Question

Hej, ich komme beim folgendem Induktionsschritt nicht weiter.

= 1-(\( \frac{1}{3}\))ⁿ+(2/3^n+1)

Die Induktionsbehauptung lautet:

1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ⁺¹

Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man das Rechnet oder was da für besondere Regeln gelten.

Vielen Dank für die Antworten.

Comments

Die Induktionsbehauptung lautet:
1-(1/3)ⁿ+1

ich glaube nicht.

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Fehler passieren.

1-(\( \frac{1}{3} \)) ⁿ⁺¹

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Hallo Patrick,

ein Term wie \(1- \left( \frac 13\right)^{n+1}\) ist nie eine Behauptung. Eine Behauptung in diesem Kontext würde ein Gleichheitszeichen enthalten und auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens würde auch etwas stehen.

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Hallo Werner-Salomon,

ich verstehe, ich hatte bloß keine Lust alles abzuschreiben und dachte es ist klar was gemeint ist. Hier nochmal die ganze Aufgabe...

Induktionsvoraussetzung:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ

Induktionsbehauptung:

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ⁺¹

Induktionsschritt:

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{3^k}} \) + (2/3^(n+1))

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ  + (2/3^(n+1))

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Welche Aussage hätte sich auch sonst dahinter verbergen sollen!

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... und dachte es ist klar was gemeint ist

Du traust uns ja ganz schön viel hellseherische Fähigkeiten zu! Der Ausdruck

(2/3^n+1)

ist streng genommen \(= \frac 2{3^n} + 1\). Und vermutet hatte ich zunächst \(= \left( \frac 23 \right)^{n+1}\). War's dann aber auch nicht.
Tipp: Punktrechnung geht vor Strichrechnung und 'Hoch' geht vor Punktrechnung. Und eine Klammer zu viel hat noch nie geschadet!

Answer 1

Hallo Patrick,

es ist: $$\begin{aligned}  1-\left( \frac 13 \right)^{n } + \frac 2{3^{n+1}} &= 1 - \frac 1{3^n} \left( 1 - \frac 23\right) \\ &=  1 - \frac 1{3^n} \cdot \frac 13 \\&= 1  -\frac 1{3^{n+1}}  \end{aligned}$$und das ist doch das, was da raus kommen sollte, oder?

Comments

Ja, genau das hab ich gesucht, danke.