Question

Zeige rechnerisch, dass die Funktion f an der Stelle x=2 ein relatives Maximum besitzt.

f(x)= 1/4x² (x-4)²

Wie muss ich hier vorgehen? Muss ich die pq-Formel anwenden?

Answer 1

Zeige rechnerisch, dass die Funktion f an der Stelle x=2 ein relatives Maximum besitzt.

f(x) = 1/4·x²·(x - 4)² = 0.25·x⁴ - 2·x³ + 4·x²

f'(x) = x³ - 6·x² + 8·x = x·(x - 2)·(x - 4) = 0 --> x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 4 (alles einfache Nullstellen und damit wirkliche Extrempunkte)

Das bei x = 2 das Maximum ist kannst du vielfältig zeigen

z.B. f''(2) < 0

oder f'(2) ist Nullstelle mit VZW von + nach -

Oder f(x) sieht in etwa so aus wie ein W. Daher hast du tief, hoch und tiefpunkt in dieser Reihenfolge.

Answer 2

Du bildest die 1. Ableitung der Funktion, setzt sie gleich 0 und löst nach x-auf.

Anschließend überprüfst du anhand der Vorzeichenwechsel oder mit Hlfe der 3. Ableitung, ob es sich bei den gefundenen Extremstellen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

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Comments

Ich hab jetzt mit der 2. Ableitung also f"(×)=3x-12×+8 durch das einsetzen der 2 ins x eine -10 raus bekommen, dass wäre also mein maximum, richtig?

Mehr brauche ich nicht oder?

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Die zweite Ableitung ist

$$f''(x)=3x^2-12x+8\\f''(2)=-4$$

Also ist bei x = 2 ein Maximum und mehr brauchst du nicht.