Primfaktorzerlegung von P als Polynom

Question

Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Q(T) = T⁴ -2T² + 1

P(T) = T⁸ + T⁷ -2T⁶ -2T⁵ -T³ -T² +2T +2

1. ggT und kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) von P & Q bestimmen (  als Polynome in |Q[T] aufgefasst)

2. Primfaktorzerlegung von P aufgefasst als Polynom in |Q[T], |C[T], |R[T] bestimmen

Zur  2)

Ich habe die Nullstellen berechnet: -1,414 ; -1 ; 1 ; 1,414

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Comments

Tipp: P(T) = (T + 1)·(T - 1)·(T² - 2)·(T⁴ + T³ + T² + T + 1).

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Danke :)

Wie kann ich jetzt vorgehen?

Ich wüsste nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe der binomischen Formel sehen wir sofort:$$Q(T)=T^4 -2T^2 + 1=(T^2-1)^2=[(T-1)(T+1)]^2=(T-1)^2(T+1)^2$$Beim Polynom$$P(T) = T^8 + T^7 -2T^6 -2T^5 -T^3 -T^2 +2T +2$$ist die Zahl ohne $T$ die $2$ hinten. Als ganzzahlige Nullstellen kommen daher genau alle Teiler von $2$ infrage, das sind: $\pm1,\pm2$. Wir seitzen also $T=\pm1,\pm2$ ein und finden Nullstellen für $T=\pm1$. Das Polynom enthält also die Faktoren $(T-1)$ und $(T+1)$. Polynomdivision liefert:$$P(T)=(T^6+T^5-T^4-T^3-T^2-2T-2)\cdot(T-1)(T+1)$$

In der großen Klammer fallen die vielen negativen Summanden und die wenigen positiven Summanden auf. Um Regelmäßigkeiten zu entdecken, füllen wir mit positiven Summanden auf:

$$(T^6+T^5+\underbrace{T^4-2T^4}_{=-T^4}+\underbrace{T^3-2T^3}_{=-T^3}+\underbrace{T^2-2T^2}_{=-T^2}-2T-2)$$Jetzt haben wir 5 positive und 5 negative Summanden, die wir ordnen:

$$(T^6+T^5+T^4+T^3+T^2)-(2T^4+2T^3+2T^2+2T+2)$$$$=T^2(T^4+T^3+T^2+T+1)-2(T^4+T^3+T^2+T+1)$$$$=(T^2-2)(T^4+T^3+T^2+T+1)$$Damit haben wir die Primfaktoren beider Polynome:

$$Q(T)=(T-1)^2(T+1)^2$$$$P(T)=(T^4+T^3+T^2+T+1)(T-\sqrt2)(T+\sqrt2)(T-1)(T+1)$$

$$\operatorname{ggT}(P,Q)=(T-1)(T+1)$$$$\operatorname{kgV}(P,Q)=(T^4+T^3+T^2+T+1)(T-\sqrt2)(T+\sqrt2)(T-1)^2(T+1)^2$$

Comments

Danke für die ausführliche Antwort:)

Ich habe jedoch noch eine Frage zur 2.

Kann ich die Primfaktorzerlegung wie folgt aufschreiben:

•in |R[T] :

P(T)=(T⁴+T³+T²+T+1)(T−√2)(T+√2)(T−1)(T+1)

• in |Q[T]:

P(T)=(T⁴+T³+T²+T+1/1)(T²-2/1)(T−1/1)(T+1/1)

Wie kann ich es in |C[T] aufschreiben?