Aloha :)
Mit Hilfe der binomischen Formel sehen wir sofort:$$Q(T)=T^4 -2T^2 + 1=(T^2-1)^2=[(T-1)(T+1)]^2=(T-1)^2(T+1)^2$$Beim Polynom$$P(T) = T^8 + T^7 -2T^6 -2T^5 -T^3 -T^2 +2T +2$$ist die Zahl ohne \(T\) die \(2\) hinten. Als ganzzahlige Nullstellen kommen daher genau alle Teiler von \(2\) infrage, das sind: \(\pm1,\pm2\). Wir seitzen also \(T=\pm1,\pm2\) ein und finden Nullstellen für \(T=\pm1\). Das Polynom enthält also die Faktoren \((T-1)\) und \((T+1)\). Polynomdivision liefert:$$P(T)=(T^6+T^5-T^4-T^3-T^2-2T-2)\cdot(T-1)(T+1)$$
In der großen Klammer fallen die vielen negativen Summanden und die wenigen positiven Summanden auf. Um Regelmäßigkeiten zu entdecken, füllen wir mit positiven Summanden auf:
$$(T^6+T^5+\underbrace{T^4-2T^4}_{=-T^4}+\underbrace{T^3-2T^3}_{=-T^3}+\underbrace{T^2-2T^2}_{=-T^2}-2T-2)$$Jetzt haben wir 5 positive und 5 negative Summanden, die wir ordnen:
$$(T^6+T^5+T^4+T^3+T^2)-(2T^4+2T^3+2T^2+2T+2)$$$$=T^2(T^4+T^3+T^2+T+1)-2(T^4+T^3+T^2+T+1)$$$$=(T^2-2)(T^4+T^3+T^2+T+1)$$Damit haben wir die Primfaktoren beider Polynome:
$$Q(T)=(T-1)^2(T+1)^2$$$$P(T)=(T^4+T^3+T^2+T+1)(T-\sqrt2)(T+\sqrt2)(T-1)(T+1)$$
$$\operatorname{ggT}(P,Q)=(T-1)(T+1)$$$$\operatorname{kgV}(P,Q)=(T^4+T^3+T^2+T+1)(T-\sqrt2)(T+\sqrt2)(T-1)^2(T+1)^2$$
