Aufgabe:
Ein Bild wird an eine Wand gehängt. Sein unterer Rand ist um die Länge b, sein oberer um a höher über dem Boden
als das Auge des Betrachters. In welcher Entfernung x von der Wand muss der Betrachter stehen, um das Bild unter
einem möglichst großen Winkel sehen zu können?
(a,b>0)
Problem/Ansatz:
Wir können den ganzen Sachverhalt ja einfach skizzieren und dann Winkelbeziehungen aufstellen.
Somit kommen wir darauf:
tan(alpha)=a/x und tan(Beta)=b/x. Somit haben wir die Winkel zwischen den Augen des Betrachters und den 2 Rändern des Bildes.
Jetzt möchte ich aber den Betrachtungswinkel maximieren (nennen wir ihn einfach gamma), wofür wir folgende Gleichung aufstellen können:
atan(b/x)-atan(a/x)=y
Die letzte Gleichung muss ich doch nur als Funktion schreiben und das lokale Maxima über die Ableitungen herausfinden oder?
Wenn ja wären das die ersten beiden Ableitungen:
f1(x)=\( \frac{ -((b-a)*(x^2-a*b))}{((x^2+a^2)*(x^2+b^2))} \)
Mit den Nullstellen \( \sqrt{ab} \) und -\( \sqrt{ab} \)
f2(x)=\( \frac{(2*(b-a)*x*(x^4-2*a*b*x^2-a*b^3-a^2*b^2-a^3*b))}{((x^2+a^2)^2*(x^2+b^2)^2)} \)
Hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet.
Wie mache ich jetzt weiter? Wenn ich die Nullstelle der ersten Ableitung einsetze, kam bei mir jedesmal nur Schrott raus. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen
