Wie lautet die Antwort für eine Interpolation der Sinusfunktion über dem Intervall [0, π/2]?

Question

Aufgabe:

Für n ∈ ℕ, sei p_n das Interpolationspolynom vom Grad ≤ n, welches an den Stützstellen

x_i = (i - 1) * \( \frac{2π}{n} \)   (i=1,2,...,n+1)

mit der Sinusfunktion übereinstimmt. Für welche n wird sichergestellt, dass

| sin(x) - p_n(x) | ≤ 1/100  für alle x ∈ [0,2π]

gilt?

Wie lautet die Antwort bei der analogen Fragestellung für eine Interpolation der Sinusfunktion über dem Intervall [0, π/2]?

Problem/Ansatz:

Wie beantworte ich diese Frage korrekt? Wie sieht die Rechnung aus?

Soll ich für n erstmal eine Zahl nehmen, z.B. 10?

Habe x1 bis x10 berechnet. Ist der Schritt richtig?

Answer 1

Man kann \( n \) durch probieren bestimmen oder durch analytisches Abschätzen der Fehlerfunktion.

Im ersten Fall musst Du die Koeffizienten des Interpolationspolynoms \( p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i \) bestimmen und zwar in Abhängigkeit von \( n \) und dann das Polynom mit der Sinusfunktion vergleichen. Das funktioniert dann aber auch nur für diese eine spezielle Funktion.

Die Polynomkoeffizienten bekommt Du durch Lösen der Gleichung $$ V a = f $$ wobei \( V \) die Vandermondesche Matrix https://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix, \( a \) die Polynomkoeffizienten und \( f \) die Werte der zu interplolierenden Funktion sind.

Durch probieren bekommst Du dann \( n = 7 \) heraus.

Bei der zweiten Methode bekommst Du als Restglied den Ausdruck $$ R(x) = \omega(x) \frac{  f^{(n+1)}(\xi) }{(n+1)!} $$ mit $$ \omega(x) = \prod_{i=0}^n(x-x_i) $$

Das kann man abschätzen. Bei der Sinusfunktion ist das einfach, weil hier immer \( | f^{(n+1)}(\xi) | \le 1 \) gilt. Weil außerdem auch \(  | x - x_i | < 2\pi \) wenn man das Intervall \( [0,2\pi]\) betrachtet, folgt $$ R(x) \le \frac{ (2\pi)^{n+1} }{(n+1)!} $$ Die Abschätzung ist aber sehr grob und man bekommt \( n = 19 \)