Lineare Abhängigkeit: Sind v_{1} und v_{2} linear abhängig, dann sind auch (i) v_{1} und v_{1}+v_{2} linear abhängig

Question

Hallo wie löse ich diese Aufgabe?

(b) Es seien \( v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{3} \). Zeigen Sie: sind \( v_{1} \) und \( v_{2} \) linear abhängig, dann sind auch
(i) \( v_{1} \) und \( v_{1}+v_{2} \) linear abhängig
(ii) \( v_{1}+v_{2} \) und \( v_{1}-v_{2} \) linear abhängig

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Vom Duplikat:

Titel: analytische geometrie Beweis

Stichworte: analytische-geometrie

Hallo. Wie löse ich diese Aufgabe?

(b) Es seien \( v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{3} \). Zeigen Sie: sind \( v_{1} \) und \( v_{2} \) linear abhängig, dann sind auch
(i) \( v_{1} \) und \( v_{1}+v_{2} \) linear abhängig.
(ii) \( v_{1}+v_{2} \) und \( v_{1}-v_{2} \) linear abhängig.

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Bitte Fragen nur einmal abschicken.

Welches ist denn die definitive Version?

Answer 1

Wenn (v₁, v₂) l. abh. sind, heißt das, dass v₂ ein Vielfaches von v₁ ist, sprich v2 = ℝv_1. Dann lässt sich leicht zeigen, dass (v₁, v₁ + ℝv₁) l. abh. sind.

Answer 2

Hallo Tanne,

wenn \(v_1\) und \(v_2\) linear abhängig sind, dann gilt$$v_2 = k \cdot v_1, \quad k \in \mathbb R$$und dann ist$$\begin{aligned}v_1 + v_2 &= v_1 + k \cdot v_1 \\&= (1+k) \cdot v_1 \end{aligned}$$und somit linear von \(v_1\) abhängig. Das gleiche gilt für $$\begin{aligned} v_1 +v_2 &= (1+k) v_1 \\ v_1 - v_2 &= (1-k) v_1 \\ \implies v_1 +v_2 &= \frac{1+k}{1-k} (v_1 - v_2)\end{aligned}$$ Wenn Du Dir zwei linear abhängige Vektoren aufzeichnest, ist das eigentlich völlig klar. Jede Linearkombi aus \(v_1\) und \(v_2\) ist von jeder anderen linear abhängig.

Gruß Werner

Comments

Und diese Antwort hättest du nicht im originalen Thread posten können?

Nein  - das konnte ich tatsächlich nicht! Zu dem Zeitpunkt, als ich die Antwort schrieb, wusste ich schlicht nicht, dass die Frage doppelt gestellt war.

@Larry: legt diese Tatsache im Bereich Deiner Vorstellungen? ;-)