Hallo,
Da \(\varphi(n) \in \mathbb N\), muss hier auch \(2n/3 \in \mathbb N\) sein. Daraus folgt, dass \(3\mid n\). Man kann also schon mal schreiben:$$n = 3k, \quad k \in \mathbb N$$Dann betrachten wir zunächst den Fall, dass \(3 \nmid k\) sei. Für zwei teilerfremde Zahlen \(3\) und \(k\) gilt$$\varphi(3k) = \varphi(3) \cdot \varphi(k) = 2 \varphi(k)$$Mit der Forderung \(\varphi(3k) = 2k\) wird daraus$$\varphi(3k) = 2\varphi(k) = 2k \implies \varphi(k)=k$$Dies gilt aber nur für \(k=1\)! Daraus folgt, dass \(n=3\) zur gesuchten Menge gehört und keine Zahl \(n=3k\) mit \(k \nmid 3\) existiert, die ebenfalls zur Lösungsmenge gehört.
Dann bleibt der Fall \(k \mid 3\) übrig. Dafür setze ich jetzt \(k = 3^{m-1} \cdot l\) bzw. $$n = 3^m \cdot l, \quad m \in \mathbb N, \quad 3 \nmid l$$Wobei für \(m=1\) nur \(l=1\) ein Kandidat der Lösungsmenge ist (s.o.). Nach den Rechenregeln von \(\varphi\) kann man nun schreiben$$\begin{aligned} \varphi(n) &= \varphi(3^m \cdot l) \\&= \varphi(3^m) \cdot \varphi(l) \\&= 3^{m-1}(3-1) \cdot \varphi(l) \\&= \frac 23 \cdot 3^m \cdot \varphi(l)\end{aligned}$$und wenn obiger Ausdruck \(2n/3\) sein soll, so muss \(\varphi(l)=l\) und damit \(l=1\) sein.
Daraus folgt dann auch die Lösungsmenge $$\mathbb L = \{n: n = 3^m, \space m \in \mathbb N\}$$
