Zeige durch vollständige Induktion

Question

Hallo, kann mir bitte jemand helfen wie man hier eine vollständige Induktion durchführt?
Sei
$$ A:=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$
Zeige durch vollständige Induktion, dass
$$ A^{n}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$
für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt (dabei bezeichnet \( A^{n} \) das \( n \) -fache Produkt von \( A \) mit sich selbst \( ) \)

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Hallo,

Die Induktionsvoraussetzung mit \(n=1\) ist ja bereits gegeben$$A(1) = A^1 = A \space \checkmark$$und der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) geht ganz klassisch - hier natürlich mit Matrizenmultiplikation. Wobei man besser das Pferd von hinten aufzäumt$$\begin{aligned} A(n) \cdot A &= \begin{pmatrix}1& n& \frac {n(n-1)}2\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}1& n+1& n + \frac {n(n-1)}2\\ 0& 1& n+1\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \\ &=  \begin{pmatrix}1& n+1& \frac {(n+1)n}2\\ 0& 1& n+1\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \\&= A(n+1) \end{aligned}$$das ist im Grunde alles!

Answer 2

Induktionsanfang sollte klar sein.

Zum Induktionsschritt:

Angenommen, die Aussage gelte für ein beliebiges, aber festes \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\), also

\(A^{n}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\). (IV)

Dann git diese Aussage auch für n+1, also

\(A^{n+1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & n+1 & \frac{(n+1)n}{2} \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \).

Nach IV gilt

$$ A^{n+1}=A\cdot A^n= \left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\begin{pmatrix} 1 & n+1 & \frac{n(n-1)}{2}+n \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & n+1 & \frac{(n+1)n}{2} \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$