Wie können diese Übungen gelöst werden?

Question

Aufgabe:

a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den
Koordinatenursprung und berührt die x-Achse bei x = 8. Die Tangente bei x = 2
hat die Steigung m = 1,5.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!

b) Das Wachstum einer Bakterienpopulation in einer Petrischale wird 8 Stunden
lang protokolliert.

ƒ (t) = 1/8t³ - 2t² + 8t gibt die Wachstumsgeschwindigkeit der
Bakterien in cm² / h (Quadratzentimeter pro Stunde) an, t = 0 ist der Beginn der
Beobachtung (t in Stunden).

(1) Bestimmen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Stunden!
(2) Berechnen Sie f´(6) und geben Sie die Bedeutung im Sachkontext an!
(3) Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie deren Vielfachheit und
begründen Sie damit, dass im Beobachtungszeitraum die Größe der
Bakterienpopulation immer weiter anwächst!

c)

 (1) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt des maximalen Wachstums der
Population!

(2) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem sich die Wachstumsgeschwindigkeit
am stärksten ändert!

(Achtung: Berücksichtigen Sie dabei auch f´(0) und f´(8)!

d) Die Petrischale hat eine Fläche von 50 cm².

Bestimmen Sie rechnerisch ⁸∫₀ ƒ(t) dt und begründen Sie, dass dieses
Ergebnis alleine nicht ausreicht, um zu beurteilen, ob die Petrischale für die
Bakterien groß genug ist!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie kann man diese Aufgaben lösen?

Stichworte: differentialrechnung,integralrechnung

Aufgabe:

" a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den
Koordinatenursprung und berührt die x-Achse bei x = 8. Die Tangente bei x = 2
hat die Steigung m = 1,5.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!

b) Das Wachstum einer Bakterienpopulation in einer Petrischale wird 8 Stunden
lang protokolliert.

ƒ (t) = 1/8t3 - 2t2 + 8t gibt die Wachstumsgeschwindigkeit der
Bakterien in cm² / h (Quadratzentimeter pro Stunde) an, t = 0 ist der Beginn der
Beobachtung (t in Stunden).

(1) Bestimmen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Stunden!
(2) Berechnen Sie f´(6) und geben Sie die Bedeutung im Sachkontext an!
(3) Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie deren Vielfachheit und
begründen Sie damit, dass im Beobachtungszeitraum die Größe der
Bakterienpopulation immer weiter anwächst!

c)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt des maximalen Wachstums der
Population!

(2) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem sich die Wachstumsgeschwindigkeit
am stärksten ändert!

(Achtung: Berücksichtigen Sie dabei auch f´(0) und f´(8)!

d) Die Petrischale hat eine Fläche von 50 cm².

Bestimmen Sie rechnerisch 8∫0 ƒ(t) dt und begründen Sie, dass dieses
Ergebnis alleine nicht ausreicht, um zu beurteilen, ob die Petrischale für die
Bakterien groß genug ist! "

Problem/Ansatz:

Differentialrechnung und Integralrechnung

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Wie kann man diese Aufgaben lösen?

Ist keine geeignete Überschrift. Bitte Duplikate vermeiden und Schreibregeln befolgen: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Danke.

Answer 1

a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den
Koordinatenursprung und berührt die x-Achse bei x = 8. Die Tangente bei x = 2
hat die Steigung m = 1,5.

f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = 0
f ( 8 ) = 0
f ´ ( 8 ) = 0
f ´( 2 ) = 1.5

f(x) = 0,125·x^3 - 2·x^2 + 8·x

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Konnten Sie auch bitte auch die Aufgaben b) und c) erlösen. Dazu benötige ich hilfe.

Vielen Dank!

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b) Das Wachstum einer Bakterienpopulation in einer Petrischale wird 8 Stunden lang protokolliert.

ƒ (t) = 1/8*t^3 - 2*t^2 + 8*t gibt die Wachstumsgeschwindigkeit der
Bakterien in cm² / h (Quadratzentimeter pro Stunde) an, t = 0 ist der Beginn der Beobachtung (t in Stunden).

Hier erst einmal der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit

f

(1) Bestimmen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Stunden!
f ( 4 ) = 8 cm^2 / h

(2) Berechnen Sie f´(6) und geben Sie die Bedeutung im Sachkontext an!
f ´( t ) =  3/8 * t^2 - 4 * t + 8
f ´( 6 ) = -5/2 cm^2 / h^2

Normalerweise ist die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung.
Die Bedeutung im Sachkontext fällt mir hier schwer.

(3) Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie deren Vielfachheit und
begründen Sie damit, dass im Beobachtungszeitraum die Größe der
Bakterienpopulation immer weiter anwächst!

1/8*t^3 - 2*t^2 + 8*t = 0
erste Nullstelle geraten t = 0
reduziert sich zu
( 1/8*t^2 - 2*t + 8 ) * t =  0 * t
1/8*t^2 - 2*t + 8 = 0
t = 8 ( Berührpunkt, doppelte Nullstelle )

Bei 0 und 8 ist die Wachstumsgeschwindigkeit Null.
Dazwischen ist sie positiv.
Das heißt die Population zwischen 0 und 8 wächst.

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Geht nachher noch weiter.
Für die Zukunft : Bitte die Fragen
getrennt einstellen. Wird sonst ein bißchen
viel.

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c)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt des maximalen Wachstums der
Population!
Frage nach dem Hochpunkt
der Wachstumgeschwindigkeit
f ´( t ) =  3/8 * t2 - 4 * t + 8
3/8 * t^2 - 4 * t + 8 = 0
t = 8/3

(2) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem sich die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten ändert!

Am wenigsten ändert sich die Wachstums-
geschwindigkeit am Scheitelpunkt und bei
t = 8. Dort ist die Änderung null.

Frage u.a. nach dem Wendepunkt

f ´´ ( t ) = 3/4 * t - 4
3/4 * t - 4 = 0
t = 16/3

f´ ( 16/3) = -8/3 ( fallend )

(Achtung: Berücksichtigen Sie dabei auch f´(0) und f´(8)!
Randmaximum
f ´( 0 ) = 8 ( steigend )

d) Die Petrischale hat eine Fläche von 50 cm².

Bestimmen Sie rechnerisch 8∫0 ƒ(t) dt und begründen Sie, dass dieses
Ergebnis alleine nicht ausreicht, um zu beurteilen, ob die Petrischale für die
Bakterien groß genug ist!

Integral f (t) dt zwischen 0 und 8
= 42  2/3 cm^2

Bei t = 0 waren schon Baktieren vorhanden
von denen das Wachstum ausging.
Die Anzahl bzw. die Flächenbedeckung kennen wir nicht.
Diese müßte noch hinzuaddiert werden.

Die ganze Aufgabe ist teilweise etwas
komisch formuliert.

mfg Georg