Hallo,
… kann man vielleicht mit der notwendigen Bedingung
( f´(x)=0) b oder c ausrechnen , damit man sieht, in welcher Weise b von c abhängig ist?
sehr guter Gedanke! Machen wir's einfach mal: $$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c = 0 \\ \implies x_{1,2} = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 4 \cdot 3 \cdot c}}{2 \cdot 3}$$Wann gibt es hier nun Lösungen? Unter der Wurzel muss was positives stehen - also gilt$$\begin{aligned} 4b^2 - 12 c &\gt 0 \\ b^2 &\gt 3c\end{aligned}$$Damit es einen Hoch- und einen Tiefpunkt gibt, so darf unter der Wurzel auch keine 0 stehen, denn dann fallen die beiden Punkte zum Sattelpunkt zusammen.
Damit wäre auch b) gelich beantwortet. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn $$b^2 = 3c$$
und keinen Hoch-, Tief- ode Sattelpunkt gibt es wenn$$b^2 \lt 3c$$Beispiel:
~plot~ x^3+3x^2+2x;x^3+3x^2+3x;x^3+3x^2+4x ~plot~
