Vollständige Induktion: Ungleichung mit exponentiellem Wachstum 2^n > n^2+4n+5

Question

Geben Sie an, für welche n E N die Ungleichung 2^n > n^2+4n+5 richtig ist mit Beweis

Answer 1

Du hast doch sicher für beide Terme schon eine Wertetabelle  angelegt?

Dann weißt du doch wenigstens schon, WAS du zu beweisen hast?

Answer 2

Aloha :)

Schreibe die Behauptung zunächst etwas um:$$2^n>n^2+4n+5=(n^2+4n+4)+1=(n+2)^2+1$$$$2^n-1>(n+2)^2$$Jetzt kannst du schnell berechnen bzw. "sehen", dass die Behauptung das erste Mal für \(n=7\) zutrifft. Wir verankern die Induktion daher bei \(n=7\):$$n=7:\quad2^n-1=2^7-1=127>81=(7+2)^2=(n+2)^2\quad\checkmark$$Induktionsschritt: \(n\to n+1\)

$$((n+1)+2)^2=((n+2)+1)^2=(n+2)^2+2(n+2)+1$$$$\quad<(n+2)^2+\underbrace{(n+2)}_{>2}(n+2)+1=2(n+2)^2+1\stackrel{I.V.}{<}2\cdot(2^n-1)+1$$$$\quad=2\cdot2^n-2+1=2^{n+1}-1\quad\checkmark$$