Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, n ∈ N_≥1 und A, B ∈ M_n(K).

Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Beweisen Sie jeweils Ihre Antwort.
(a) Es gilt det(A) = det(−A), wenn n gerade ist.
(b) Es gilt (AB)^∗ = B^∗A^∗, wenn A und B invertierbar sind.

Answer 1

Aloha :)

a) Du kannst aus jeder Zeile der Matrix den Faktor \((-1)\) vor die Determinante ziehen, daher gilt bei \(n\) Zeilen:$$\operatorname{det}(-A)=(-1)^n\operatorname{det}(A)=\left\{\begin{array}{l}+\operatorname{det}(A) & \text{falls} & n\text{ gerade}\\-\operatorname{det}(A) & \text{falls} & n\text{ ungerade}\\\end{array}\right.$$Die Behauptung ist also für gerade \(n\) richtig.

b) Kannst du elementar zeigen:$$\left.(AB)^{-1}(AB)=1\quad\right|\;\cdot B^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(AB)^{-1}A=B^{-1}\quad\right|\;\cdot A^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\quad\right.$$

Comments

Vielen Dank

Mit freundlichen Grüßen

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Könntest du das eventuell noch etwas näher erläutern , verstehe nicht ganz , wie darauf kommst :(