wieso kann man hier nicht beide seiten mit sin(x) dividieren?

Question

Aufgabe:

wieso kann man hier nicht beide seiten mit sin(x) dividieren?

(x+ 3) sin(x) = sin(x)

Answer 1

Hallo,

rein theoretisch geht das schon, allerdings musst du bei allen \(x\in \{k\pi : k\in \mathbb{Z}\}\) aufpassen, denn hier wird der Sinus null. Für alle \(x\notin \{k\pi : k\in \mathbb{Z}\}\) gilt: \((x+3)=1\). Warum steht dir der Sinus in der Quere? Klammer den Übeltäter doch einfach aus:$$(x+3)\sin(x)=\sin(x) \Leftrightarrow (x+3)\sin(x)-\sin(x)=\sin(x)(x+3-1)=0  \\ \implies \sin(x)(x+2)=0$$ Dann kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden, um die Nullstellenmenge zu ermitteln.

Comments

gute idee vielen dank. Wenn ich aber so eine aufgabe lösen müsste ich den fall x=0 sowie x ungleich 0 betrachten oder?

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Nein, der Sinus schwingt periodisch. Es gibt unendlich viele Stellen, an der der Sinus die Null annimt.

Wenn du den Schritt mit dem Ausklammern verstanden hast, wendest du den Satz vom Nullprodukt an, du setzt also separat \(\sin(x)=0\) und \(x+2=0\). Zweiteres ist leicht zu lösen, du hast also schon einmal \(x_1=-2\). Der Sinus hat -- wie schon gesagt -- unendlich viele Nullstellen. Nämlich bei \(\{...,-\pi ,0,\pi, 2\pi, ..\}\). Das schreibt man dann algemein als \(\{k\pi : k\in \mathbb{Z}\}\).

Du hast also \(-2\) vom linearen Faktor und \(\{k\pi : k\in \mathbb{Z}\}\) vom Sinus. Ich weiß nicht, wie versiert du mit der Mengennotation bist, man könnte aber schreiben, dass die Nullstellenmenge \(N=\{k\pi : k\in \mathbb{Z}  \}\cup \{-2\}\) ist.

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Wenn man die Sinuskurve zusätzlich einzeichnet, wird es noch deutlicher.

Answer 2

Weil sin(x) auch gleich Null sein kann und man durch Null nlcht dividieren darf.

Comments

Das schließt eine Division per-se nicht aus.

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stimmt vielen dank