Zeigen Sie, dass der Erwartungswert Funktion minimiert

Question

Es sei X eine reellwertige integrierbare Zufallsvariable auf dem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie, dass der Erwartungswert $$\mathbb{E}X$$
die folgende Funktion minimiert:

$$a\rightarrow  \mathbb{E} ((X-a)^{2}) , a\in \mathbb{R}$$

Falls ihr da Bescheid wisst, sagt mir bitte Bescheid, ich komme da irgendwie nicht weiter..

Answer 1

Es ist

        \(\mathbb{E}\left(\left(X-a\right)^{2}\right)=\sum_{\omega\in\Omega}\left(X(\omega)-a\right)^{2}\cdot P\left(\left\{ \omega\right\} \right)\)

laut Definition Erwartungswert. Also ist

        \(\frac{\text{d}}{\text{d}a}\mathbb{E}\left(\left(X-a\right)^{2}\right)=\sum_{\omega\in\Omega}-2\left(X(\omega)-a\right)\cdot P\left(\left\{ \omega\right\} \right)\)

und somit

        \(\begin{aligned} &  & \frac{\text{d}}{\text{d}a}\mathbb{E}\left(\left(X-a\right)^{2}\right) & =0\\ & \iff & \sum_{\omega\in\Omega}-2\left(X(\omega)-a\right)\cdot P\left(\left\{ \omega\right\} \right) & =0\\ & \iff & \sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)\cdot P\left(\left\{ \omega\right\} \right)-\sum_{\omega\in\Omega}a\cdot P\left(\left\{ \omega\right\} \right) & =0\\ & \iff & \sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)\cdot P\left(\left\{ \omega\right\} \right) & =a\cdot\sum_{\omega\in\Omega}P\left(\left\{ \omega\right\} \right)\\ & \iff & \mathbb{E}\left(X\right) & =a \end{aligned}\)