Question

Ein Gummiball fällt aus einem Meter Höhe senkrecht nach unten und von dem er wieder senkrecht
in die Luft abspringt, bevor er wieder zu Boden fällt. Bei jedem dieser Sprünge fliegt er genau ein ¨
Drittel so hoch, wie im vorherigen Sprung. Wie lange ist der Weg, den der Gummiball dabei zurücklegt, ¨
vorausgesetzt, er kann unendlich lange hupfen?

Problem :

ich verstehe nicht wie ich so eine Frage (über Folgen und Reihen ,Analysis) beantworten soll,

hat jemand eine Idee?

Answer 1

Stichwort: Geometrische Reihe $$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}=1.5 \text{ m}$$

Verbesserung:

Stimmt, das ist ein Denkfehler. Eher:$$1+2\cdot \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots \right)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{3}\right)^n}=2$$? Erst fällt der Gummiball 1 m, steigt dann 1/3 m in die Höhe und eben diese  Strecke wieder runter,danach 1/9 m hoch und runter, 1/27 hoch und runter, ...

also immer 2* die Strecke bis auf die erste.

Comments

Hallo Wurzel,
1. Fall nach unten : 1 m
1 Sprung nach oben : 1/3 m
2. Fall nach unten : 1/3 m
....

ich bin jetzt aber schon bei 1  2/3 m

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Stimmt, das ist ein Denkfehler. Eher:$$1+2\cdot \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots \right)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{3}\right)^n}=2$$? Erst fällt der Gummiball 1 m, steigt dann 1/3 m in die Höhe und eben diese  Strecke wieder runter,danach 1/9 m hoch und runter, 1/27 hoch und runter, ...

also immer 2* die Strecke bis auf die erste.

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Der ursprüngliche Ansatz beschrieb die Länge des Wegs nach unten, der Weg nach oben ist offenbar ein Meter kürzer, also beträgt die Länge des Gesamtwegs

1.5 m + 0.5 m = 2 m

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Das ist natürlich der vornehmere Gedankengang.